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place

Diseño de la ubicación de polos

Sintaxis

K = place(A,B,p)

[K,prec] = place(A,B,p)

Descripción

La ubicación de polos es un método para calcular la matriz de ganancia óptima utilizada para asignar polos de lazo cerrado a ubicaciones especificadas, asegurando así la estabilidad del sistema. Las ubicaciones de los polos de lazo cerrado tienen un impacto directo en las características de respuesta en el tiempo, como el tiempo de subida, el tiempo de estabilización y las oscilaciones transitorias. Para obtener más información, consulte Ubicación de polos.

Basándose en la figura, considere un sistema dinámico lineal en formato de espacio de estados

$$\dot{x}=Ax+Bu$$

$$y=Cx+Du$$

Para un vector p dado de las ubicaciones deseadas de los polos de lazo cerrado autoconjugados, place calcula una matriz de ganancia K de manera que el feedback de estado u = –Kx ubica los polos en las ubicaciones p. Dicho de otra forma, los valores propios de A – BK coincidirán con las entradas de p (hasta el orden).

K = place(A,B,p) ubica los polos de lazo cerrado deseados p calculando una matriz de ganancias de feedback de estados K. Todas las entradas de la planta se consideran entradas de control. place también funciona en sistemas de entrada múltiple y se basa en el algoritmo de [1]. Este algoritmo utiliza los grados de libertad adicionales para encontrar una solución que disminuya la sensibilidad de los polos de lazo cerrado a las perturbaciones en A o B.

[K,prec] = place(A,B,p) también devuelve prec, una estimación de la precisión con que los valores propios de A – BK coinciden con las ubicaciones especificadas p (prec mide el número de dígitos decimales exactos en los polos de lazo cerrado reales). Se emite una advertencia si la separación de algún polo de lazo cerrado distinto de cero es superior al 10% con respecto a la ubicación deseada.

Ejemplos

Diseño de la ubicación de polos para un sistema de segundo orden

Para este ejemplo, considere un sistema simple de segundo orden con las siguientes matrices de espacio de estados:

$$A=\left[\begin{array}{cc}-1& -2\\ 1& 0\end{array}\right]B=\left[\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right]C=\left[\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right]D=0$$

Introduzca las matrices y cree el sistema de espacio de estados.

A = [-1,-2;1,0];
B = [2;0];
C = [0,1];
D = 0;
sys = ss(A,B,C,D);

Calcule los polos de lazo abierto y compruebe la respuesta al escalón del sistema de lazo abierto.

Pol  = pole(sys)

Pol = 2×1 complex

  -0.5000 + 1.3229i
  -0.5000 - 1.3229i

figure(1)
step(sys)
hold on;

Observe que hay un polo inestable y el sistema resultante está subamortiguado. Por tanto, elija polos reales de la mitad izquierda del plano complejo para eliminar las oscilaciones.

p = [-1,-2];

Encuentre la matriz de ganancia K mediante la ubicación de polos y compruebe los polos de lazo cerrado de syscl.

K = place(A,B,p);
Acl = A-B*K;
syscl = ss(Acl,B,C,D);
Pcl = pole(syscl)

Pcl = 2×1

   -2.0000
   -1.0000

A continuación, compare la respuesta al escalón del sistema de lazo cerrado.

figure(1)
step(syscl)

Por tanto, el sistema de lazo cerrado obtenido mediante la ubicación de polos es estable y tiene una buena respuesta de estado estacionario.

Tenga en cuenta que al elegir polos que estén más alejados del eje imaginario se obtiene un tiempo de respuesta más rápido, pero se reduce la ganancia de estado estacionario del sistema. Por ejemplo, considere los polos [-2,-3] para el sistema anterior.

p = [-2, -3];
K2 = place(A,B,p);
syscl2 = ss(A-B*K2,B,C,D);
figure(1);
step(syscl2);

stepinfo(syscl)

ans = struct with fields:
         RiseTime: 2.5901
    TransientTime: 4.6002
     SettlingTime: 4.6002
      SettlingMin: 0.9023
      SettlingMax: 0.9992
        Overshoot: 0
       Undershoot: 0
             Peak: 0.9992
         PeakTime: 7.7827

stepinfo(syscl2)

ans = struct with fields:
         RiseTime: 1.4130
    TransientTime: 2.4766
     SettlingTime: 2.4766
      SettlingMin: 0.3003
      SettlingMax: 0.3331
        Overshoot: 0
       Undershoot: 0
             Peak: 0.3331
         PeakTime: 4.1216

Precisión de la ubicación de polos

Para este ejemplo, considere las ubicaciones de los polos [-2e-13,-3e-4,-3e-3]. Calcule la precisión de los polos reales.

A = [4,2,1;0,-1,2;0,1e-8,1];
B = [1,2;3,1;1e-6,0];
p = [-2e-13,-3e-4,3e-3];
[~,prec] = place(A,B,p)

prec = 2

Un valor de precisión de 2 se obtiene indicando que las ubicaciones reales de los polos son precisas hasta dos decimales.

Ubicación de polos mediante polos complejos

Para este ejemplo, considere la siguiente función de transferencia con polos complejos conjugados en $-2\pm 2\mathit{i}$:

$$systf(s)=\frac{8}{s^2+4s+8}$$

Introduzca el modelo de función de transferencia. Después, conviértalo al formato de espacio de estados, dado que place usa las matrices A y B como argumentos de entrada.

s = tf('s');
systf = 8/(s^2+4*s+2);
sys = ss(systf);

Luego, calcule la matriz de ganancia K mediante los polos complejos conjugados.

p = [-2+2i,-2-2i];
K = place(sys.A,sys.B,p)

K = 1×2

         0    1.5000

Los valores de la matriz de ganancia son reales, ya que los polos son autoconjugados. Los valores de K serían complejos si p no contuviera polos autoconjugados.

Ahora, verifique la respuesta al escalón del sistema de lazo cerrado.

syscl = ss(sys.A-sys.B*K,sys.B,sys.C,sys.D);
step(syscl)

Diseño del observador de la ubicación de polos

Para este ejemplo, considere el siguiente modelo de espacio de estados SISO:

$$A=\left[\begin{array}{cc}-1& -0.75\\ 1& 0\end{array}\right]B=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]C=\left[\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right]D=0$$

Cree el modelo de espacio de estados SISO definido por las siguientes matrices de espacio de estados:

A = [-1,-0.75;1,0];
B = [1;0];
C = [1,1];
D = 0;
Plant = ss(A,B,C,D);

A continuación, proporcione un pulso a la planta y simúlelo mediante lsim. Represente la salida.

N = 250;
t = linspace(0,25,N);
u = [ones(N/2,1); zeros(N/2,1)];
x0 = [1;2];
[y,t,x] = lsim(Plant,u,t,x0);

figure
plot(t,y);
title('Output');

Para este ejemplo, asuma que no se pueden medir todas las variables de estado y solo se mide la salida. Por tanto, diseñe un observador con esta medición. Utilice place para calcular la ganancia del estimador trasponiendo la matriz A y sustituyendo C' por la matriz B. Para este ejemplo, seleccione las ubicaciones deseadas de los polos en -2 y -3.

L = place(A',C',[-2,-3])';

Use la ganancia del estimador para sustituir las matrices de estado mediante el principio de dualidad/separación y cree el modelo de espacio de estados estimado.

At = A-L*C;
Bt = [B,L];
Ct = [C;eye(2)];
sysObserver = ss(At,Bt,Ct,0);

Simule la respuesta en el tiempo del sistema utilizando la misma entrada de pulso.

[observerOutput,t] = lsim(sysObserver,[u,y],t);
yHat = observerOutput(:,1);
xHat = observerOutput(:,[2 3]);

Compare la respuesta del sistema real y el sistema estimado.

figure;
plot(t,x);
hold on;
plot(t,xHat,'--');
legend('x_1','x_2','xHat_1','xHat_2')
title('Comparison - Actual vs. Estimated');

Argumentos de entrada

A — Matriz de estado

Matriz de Nx por Nx

Matriz de estado, especificada como una matriz de Nx por Nx, donde Nx es el número de estados.

B — Matriz de entrada a estado

Matriz de Nx por Nu

Matriz de entrada a estado, especificada como una matriz de Nx por Nu, donde Nx es el número de estados y Nu es el número de entradas.

p — Ubicación de polos de lazo cerrado

vector

Ubicaciones de los polos de lazo cerrado, especificadas como vector de longitud Nx, donde Nx es el número de estados. Dicho de otra forma, la longitud de p debe coincidir con el tamaño de fila de A. Las ubicaciones de los polos de lazo cerrado tienen un impacto directo en las características de respuesta en el tiempo, como el tiempo de subida, el tiempo de estabilización y las oscilaciones transitorias. Para ver un ejemplo de cómo seleccionar polos, consulte Diseño de la ubicación de polos para un sistema de segundo orden.

place devuelve un error si algunos polos de p tienen una multiplicidad mayor que rank(B).

En problemas de orden superior, algunas opciones de ubicación de los polos derivan en ganancias muy grandes. Los problemas de sensibilidad asociados a las grandes ganancias sugieren precaución en el uso de las técnicas de ubicación de polos. Consulte [2] para obtener resultados de las pruebas numéricas.

Argumentos de salida

K — Ganancia óptima

Matriz de Ny por Nx

Ganancia óptima o ganancia de feedback de estado completo, devuelta como una matriz de Ny por Nx, donde Nx es el número de estados y Ny es el número de salidas. place calcula una matriz de ganancia K de manera que el feedback de estado u = –Kx ubica los polos de lazo cerrado en las ubicaciones p.

Cuando las matrices A y B son reales, K es

• real cuando p es autoconjugado.

• compleja cuando las ubicaciones de los polos no son complejas conjugadas.

prec — Estimación de precisión de los polos asignados

escalar

Estimación de precisión de los polos asignados, devuelta como escalar. prec mide el número de dígitos decimales exactos en los polos de lazo cerrado reales en contraste con las ubicaciones de los polos especificadas en p.

Sugerencias

• Puede utilizar place para seleccionar la ganancia del estimador trasponiendo la matriz A y sustituyendo C' por la matriz B de la siguiente manera, como se muestra en Diseño del observador de la ubicación de polos. Puede utilizar la ganancia del estimador resultante para flujos de trabajo del estimador de estado usando estim.

Referencias

[1] Kautsky, J., N.K. Nichols, and P. Van Dooren, "Robust Pole Assignment in Linear State Feedback," International Journal of Control, 41 (1985), pp. 1129-1155.

[2] Laub, A.J. and M. Wette, Algorithms and Software for Pole Assignment and Observers, UCRL-15646 Rev. 1, EE Dept., Univ. of Calif., Santa Barbara, CA, Sept. 1984.

Historial de versiones

Introducido antes de R2006a

Consulte también

lqr | rlocus | estim

Temas

• Ubicación de polos

Sitios web externos

• Charlas técnicas Tech Talk de MATLAB - Ubicación de polos