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Enseñar con secuencias de comandos en vivo

A continuación se muestra un ejemplo de cómo utilizar secuencias de comandos en vivo en el aula. En este ejemplo se muestra cómo:

  • Agregar ecuaciones para explicar las matemáticas subyacentes.

  • Ejecutar secciones individuales de código MATLAB.

  • Incluir gráficas para visualización.

  • Utilice enlaces e imágenes para proporcionar información de soporte.

  • Experimente con el código de MATLAB interactivamente.

  • Reforzar los conceptos con otros ejemplos.

  • Utilice secuencias de comandos en directo para asignaciones.

¿Qué significa encontrar la raíz nde 1?

Añada ecuaciones para explicar las matemáticas subyacentes para los conceptos que desea enseñar. Para agregar una ecuación, vaya a la Editor en vivo y haga clic en el botón Ecuación botón. A continuación, seleccione de los símbolos y estructuras en el Ecuación ficha.

Hoy vamos a hablar de encontrar las raíces de 1. ¿Qué significa encontrar la raíz nde 1? Las raíces nde 1 son las soluciones a la ecuación .

Para las raíces cuadradas, esto es fácil. Los valores son . Para las raíces de orden superior, se pone un poco más difícil. Para encontrar las raíces cúbicas de 1 necesitamos resolver la ecuación . Podemos factorizar esta ecuación para obtener

Así que la primera raíz del cubo es 1. Ahora podemos usar la fórmula cuadrática para obtener las raíces del segundo y tercer cubo.

Calcular las raíces cúbicas

Para ejecutar secciones individuales de código Matlab, vaya a la Editor en vivo y haga clic en el botón Ejecutar sección botón. La salida aparece junto con el código que lo creó. Crear secciones utilizando el Rotura de sección botón.

En nuestro caso a, b, y c son todos iguales a 1. Las otras dos raíces se calculan a partir de estas fórmulas:

a = 1 ; b = 1 ; c = 1; roots = []; roots(1) = 1; roots(2) = (-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))/(2*a);    % Use the quadratic formula roots(3) = (-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))/(2*a);

Así que el conjunto completo de raíces cúbicas de 1 son:

disp(roots')
   1.0000 + 0.0000i   -0.5000 - 0.8660i   -0.5000 + 0.8660i 

Mostrar las raíces en el plano complejo

Incluir gráficas en el editor en vivo para que los estudiantes puedan visualizar conceptos importantes.

Podemos visualizar las raíces en el plano complejo para ver su ubicación.

range = 0:0.01:2*pi;                               plot(cos(range),sin(range),'k')                % Plot the unit circle                  axis square; box off ax = gca; ax.XAxisLocation = 'origin'; ax.YAxisLocation = 'origin'; hold on plot(real(roots), imag(roots), 'ro')           % Plot the roots

Búsqueda de raíces de orden superior

Para agregar información de soporte, vaya a la Editor en vivo y haga clic en el botón Hipervínculo y Imagen botones. Los estudiantes pueden usar información de apoyo para explorar temas de conferencias fuera del aula.

Una vez que pasas , las cosas se complican aún más. Para las 4 raíces podríamos usar la fórmula quartic descubierta por Lodovico Ferrari en 1540. Pero esta fórmula es larga e inmanejable, y no nos ayuda a encontrar raíces superiores a 4. Afortunadamente, hay una mejor manera, gracias a un matemático francés del siglo 17 llamado Abraham de Moivre.

Abraham de Moivre nació en Vitry en Champagne el 26 de mayo de 1667. Era contemporáneo y amigo de Isaac Newton, Edmund Halley y James Stirling. https://en.wikipedia.org/wiki/Abraham_de_Moivre

Es más conocido por teorema de de Moivre que vincula números complejos y trigonometría, y por su trabajo sobre la distribución normal y la teoría de probabilidades. De Moivre escribió un libro sobre teoría de la probabilidad, The Doctrine of Chances, dijo haber sido apreciado por los jugadores. De Moivre descubrió por primera vez Fórmula de Binet, la expresión de forma cerrada para los números de Fibonacci que une el poder nde la proporción dorada φ al nnúmero de Fibonacci. También fue el primero en postular el Teorema del límite central, una piedra angular de la teoría de las probabilidades.

el teorema de de Moivre indica que para cualquier x real y cualquier entero n,

¿Cómo nos ayuda eso a resolver nuestro problema? También sabemos que para cualquier entero k,

Así que por el teorema de de Moivre que obtener

Cálculo de las raíces nde 1

Utilice el editor en directo para experimentar con el código de MATLAB de forma interactiva. Muestre a los estudiantes cómo los parámetros importantes afectan el análisis.

Podemos usar esta última ecuación para encontrar las raíces nde 1. Por ejemplo, para cualquier valor de n, podemos usar la fórmula anterior con valores de . Podemos utilizar este código de MATLAB para experimentar con diferentes valores de n:

roots = []; n = 5; for k = 0:n-1     roots(k+1) = cos(2*k*pi/n) + 1i*sin(2*k*pi/n);    % Calculate the roots end disp(roots')
   1.0000 + 0.0000i    0.3090 - 0.9511i   -0.8090 - 0.5878i   -0.8090 + 0.5878i    0.3090 + 0.9511i 

Trazar las raíces en el plano complejo muestra que las raíces se espacian por igual alrededor del círculo de la unidad a intervalos de .

cla plot(cos(range),sin(range),'k')                   % Plot the unit circle hold on plot(real(roots),imag(roots),'ro')              % Plot the roots

Encontrar las raíces nde-1, i, y-i

Utilice ejemplos adicionales para reforzar conceptos importantes. Modifique el código durante la Conferencia para responder preguntas o explorar ideas con más profundidad.

Podemos encontrar las raíces de-1, i, y-i simplemente usando extensiones del acercamiento descrito arriba. Si nos fijamos en el círculo unitario vemos que los valores de 1, i,-1,-i aparecen en ángulos , , Y respectivamente.

r = ones(1,4); theta = [0 pi/2 pi 3*pi/2]; [x,y] = pol2cart(theta,r); cla plot(cos(range),sin(range),'k')           % Plot the unit circle hold on plot(x, y, 'ro')                          % Plot the values of 1, i, -1, and -i text(x(1)+0.05,y(1),'1')                  % Add text labels text(x(2),y(2)+0.1,'i') text(x(3)-0.1,y(3),'-1') text(x(4)-0.02,y(4)-0.1,'-i')

Sabiendo esto, podemos escribir la siguiente expresión para i:

Tomar la raíz nde ambos lados da

y por el teorema de de Moivre conseguimos

Tarea

Utilice secuencias de comandos en directo como base para las asignaciones. Dar a los estudiantes el guión en vivo utilizado en la Conferencia y tenerlos ejercicios completos que prueban su comprensión del material.

Utilice las técnicas descritas arriba para completar los siguientes ejercicios:

Ejercicio 1: Escribir código MATLAB para calcular las 3 raíces cúbicas de i.

% Put your code here

Ejercicio 2: Escribir código MATLAB para calcular las 5 Quintas raíces de-1.

% Put your code here

Ejercicio 3: Describa el enfoque matemático que usaría para calcular las raíces nde un número complejo arbitrario. Incluya las ecuaciones que usó en su enfoque.

(describe tu enfoque aquí)