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Las integrales de línea compleja

Este ejemplo muestra cómo calcular integrales de líneas complejas utilizando la opción de la función.'Waypoints'integral En MATLAB®, se utiliza la opción para definir una secuencia de trayectorias de línea recta desde el primer límite de integración hasta el primer waypoint, desde el primer waypoint hasta el segundo, y así sucesivamente, y finalmente desde el último waypoint hasta el segundo límite de integración.'Waypoints'

Defina la Integrand con una función anónima

Integrar

<math display="block">
<mrow>
<msub>
<mrow>
<mo></mo>
</mrow>
<mrow>
<mi>C</mi>
</mrow>
</msub>
<mfrac>
<mrow>
<msup>
<mrow>
<mi>e</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi>z</mi>
</mrow>
</msup>
</mrow>
<mrow>
<mi>z</mi>
</mrow>
</mfrac>
<mspace width="0.2222222222222222em"></mspace>
<mi>d</mi>
<mi>z</mi>
</mrow>
</math>

Dónde

<math display="block">
<mrow>
<mi>C</mi>
</mrow>
</math>
es un contorno cerrado que encierra el polo simple de
<math display="block">
<mrow>
<msup>
<mrow>
<mi>e</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi>z</mi>
</mrow>
</msup>
<mo>/</mo>
<mi>z</mi>
</mrow>
</math>
en el origen.

Defina el integrando con una función anónima.

fun = @(z) exp(z)./z;

Integrar sin usar waypoints

Puede evaluar las integrales de contorno de funciones con valores complejos con una parametrización. En general, se especifica un contorno y, a continuación, se diferencia y se utiliza para parametrizar el integrand original. En este caso, especifique el contorno como el círculo de la unidad, pero en todos los casos, el resultado es independiente del contorno elegido.

g = @(theta) cos(theta) + 1i*sin(theta); gprime = @(theta) -sin(theta) + 1i*cos(theta); q1 = integral(@(t) fun(g(t)).*gprime(t),0,2*pi)
q1 = -0.0000 + 6.2832i 

Este método de parametrización, aunque fiable, puede ser difícil y requiere mucho tiempo, ya que se debe calcular un derivado antes de realizar la integración. Incluso para las funciones simples, es necesario escribir varias líneas de código para obtener el resultado correcto. Dado que el resultado es el mismo con cualquier contorno cerrado que encierra el polo (en este caso, el origen), en su lugar se puede utilizar la opción de construir un camino cuadrado o triangular que encierra el poste.'Waypoints'integral

Integrar a lo largo de un contorno que encierra sin polos

Si cualquier límite de integración o elemento del vector de waypoints es complejo, entonces realiza la integración a través de una secuencia de trazados de línea recta en el plano complejo.integral La dirección natural alrededor de un contorno es en sentido antihorario; especificar un contorno en sentido horario es similar a multiplicar por.-1 Especifique el contorno de forma que encierra una sola singularidad funcional. Si especifica un contorno que no encierra polos, el teorema integral de Cauchy garantiza que el valor de la integral de bucle cerrado es cero.

Para ver esto, integre alrededor de un contorno cuadrado lejos del origen.fun Utilice límites iguales de integración para formar un contorno cerrado.

C = [2+i 2+2i 1+2i]; q = integral(fun,1+i,1+i,'Waypoints',C)
q = 0.0000e+00 + 2.2204e-16i 

El resultado es en el orden de y efectivamente cero.eps

Integre a lo largo de un contorno con un poste en el interior

Especifique un contorno cuadrado que encierra por completo el polo en el origen y, a continuación, integre.

C = [1+i -1+i -1-i 1-i]; q2 = integral(fun,1,1,'Waypoints',C)
q2 = -0.0000 + 6.2832i 

Este resultado coincide con el calculado anteriormente, pero utiliza código mucho más simple.q1

La respuesta exacta para este problema es

<math display="block">
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi>π</mi>
<mi>i</mi>
</mrow>
</math>
.

2*pi*i
ans = 0.0000 + 6.2832i 

Consulte también

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