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Selección de óla AR con secuencia de autocorrelación parcial

En este ejemplo se muestra cómo evaluar el orden de un modelo autoregresivo mediante la secuencia de autocorrelación parcial. Para estos procesos, puede utilizar la secuencia de autocorrelación parcial para ayudar con la selección de orden de modelo. Para una serie temporal estacionaria con valores $X(1),X(2),X(3),\dots,X(k+1)$, la secuencia de autocorrelación parcial en el desajuste $k$ es la correlación entre $X(1)$ Y $X(k+1)$ después de retroceder $X(1)$ Y $X(k+1)$ sobre las observaciones que intervienen, $X(2),X(3),X(4),\dots,X(k)$. Para un proceso de media móvil, puede utilizar la secuencia de autocorrelación para evaluar el orden. Sin embargo, para un proceso de media móvil autoregresiva (AR) o autoregresiva (ARMA), la secuencia de autocorrelación no ayuda en la selección de orden. Considere el proceso AR(2) definido por

$$X(n)+1.5X(n-1)+0.75X(n-2)=\varepsilon(n),$$

Dónde $\varepsilon(n)$ es un $N(0,1)$ Proceso de ruido blanco gaussiano. El siguiente ejemplo:

  • Simula la realización del proceso AR(2)

  • Explora gráficamente la correlación entre los valores retrasados de la serie temporal

  • Examina la secuencia de autocorrelación de muestra de la serie temporal

  • Se adapta a un modelo AR(15) a la serie temporal resolviendo las ecuaciones Yule-Walker ( )aryule

  • Utiliza los coeficientes de reflexión devueltos por para calcular la secuencia de autocorrelación parcialaryule

  • Examina la secuencia de autocorrelación parcial para seleccionar el orden del modelo

Simular una serie temporal de 1000 muestras del proceso AR(2) definido por la ecuación de diferencia. Establezca el generador de números aleatorios en la configuración predeterminada para obtener resultados reproducibles.

A = [1 1.5 0.75]; rng default x = filter(1,A,randn(1000,1)); 

Vea la respuesta de frecuencia del proceso AR(2).

freqz(1,A) 

El proceso AR(2) actúa como un filtro de paso alto en este caso.

Examine gráficamente la correlación en x mediante la producción de gráficas de dispersión de $X(n)$ Vs. $X(1)$ Para $n = 2, 3, 4, 5$.

x12 = x(1:end-1); x21 = x(2:end); subplot(2,2,1) plot(x12,x21,'*') xlabel('X_1') ylabel('X_2') grid  x13 = x(1:end-2); x31 = x(3:end); subplot(2,2,2) plot(x13,x31,'*') xlabel('X_1') ylabel('X_3') grid  x14 = x(1:end-3); x41 = x(4:end); subplot(2,2,3) plot(x14,x41,'*') xlabel('X_1') ylabel('X_4') grid  x15 = x(1:end-4); x51 = x(5:end); subplot(2,2,4) plot(x15,x51,'*') xlabel('X_1') ylabel('X_5') grid 

En la gráfica de dispersión, se ve que hay una relación lineal entre $X(1)$ Y $X(2)$ y entre $X(1)$ Y $X(3)$, pero no entre $X(1)$ y o bien $X(4)$ O $X(5)$.

Los puntos de los trazados de dispersión de la fila superior caen aproximadamente en una línea con una pendiente negativa en el panel superior izquierdo y una pendiente positiva en el panel superior derecho. Las gráficas de dispersión en los dos paneles inferiores no muestran ninguna relación lineal aparente.

La correlación negativa entre $X(1)$ Y $X(2)$ y la correlación positiva entre $X(1)$ Y $X(3)$ se explican por el comportamiento del filtro de paso alto del proceso AR(2).

Busque la secuencia de autocorrelación de muestra para desg 50 y trace el resultado.

[xc,lags] = xcorr(x,50,'coeff');  figure stem(lags(51:end),xc(51:end),'filled') xlabel('Lag') ylabel('ACF') title('Sample Autocorrelation Sequence') grid 

La secuencia de autocorrelación de muestra muestra un valor negativo en el desg 1 y un valor positivo en el desg 2. Basado en la gráfica de dispersión, este es el resultado esperado. Sin embargo, no puede determinar a partir de la secuencia de autocorrelación de muestra qué orden es adecuado para el modelo AR.

Ajuste un modelo AR(15) utilizando .aryule Devuelve los coeficientes de reflexión. El negativo de los coeficientes de reflexión es la secuencia de autocorrelación parcial.

[arcoefs,E,K] = aryule(x,15); pacf = -K; 

Trazar la secuencia de autocorrelación parcial junto con los intervalos de confianza del 95% de muestra grande. Si los datos son generados por un proceso autoregresivo de $p$, los valores de la secuencia de autocorrelación parcial de la muestra para los retrasos superiores a $p$ seguir un $N(0,1/N)$ distribución, donde $N$ es la longitud de la serie temporal.

stem(pacf,'filled') xlabel('Lag') ylabel('Partial ACF') title('Partial Autocorrelation Sequence') xlim([1 15]) uconf = 1.96/sqrt(1000); lconf = -uconf; hold on plot([1 15],[1 1]'*[lconf uconf],'r') grid 

Los únicos valores de la secuencia de autocorrelación parcial fuera de los límites de confianza del 95% se producen en los retrasos 1 y 2. Esto indica que la orden de modelo correcta para el proceso AR es 2.

En este ejemplo, ha generado la serie temporal para simular un proceso AR(2). La secuencia de autocorrelación parcial solo confirma ese resultado. En la práctica, solo tiene la serie temporal observada sin ninguna información previa sobre el orden del modelo. En un escenario realista, la autocorrelación parcial es una herramienta importante para la selección de orden de modelo adecuada en series temporales autoregresivas estacionarias.