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Estimación de máxima verosimilitud

La función mle calcula las estimaciones de máxima verosimilitud (MLE) de una distribución especificada por su nombre y de una distribución personalizada especificada por su función de densidad de probabilidad (pdf), logaritmo de pdf o una función de verosimilitud de algoritmo negativo.

En algunas distribuciones, las MLE pueden aparecer en una forma cerrada y calculadas directamente. En otras distribuciones, se debe realizar una búsqueda de la máxima verosimilitud. La búsqueda se puede controlar con un argumento de entrada options, que se crea usando la función statset. Para realizar búsquedas eficientes, es importante seleccionar un modelo de distribución razonable y establecer las tolerancias de convergencia adecuadas.

Las MLE pueden aparecer sesgadas, sobre todo en muestras pequeñas. Sin embargo, a medida que aumenta el tamaño de la muestra, las MSE se convierten en estimaciones de varianza mínima sin sesgar con distribuciones normales aproximadas. Esta se utiliza para calculas los límites de confianza de las estimaciones.

Usemos como ejemplo la siguiente distribución de medias de muestras aleatorias repetidas de una distribución exponencial:

mu = 1; % Population parameter
n = 1e3; % Sample size
ns = 1e4; % Number of samples

rng('default')  % For reproducibility
samples = exprnd(mu,n,ns); % Population samples
means = mean(samples); % Sample means

El teorema de límite central establece que las medias se deben distribuir de manera normal y de forma aproximada, independientemente de la distribución de los datos de las muestras. La función mle se puede usar para encontrar la distribución normal que se ajuste mejor a las medias:

[phat,pci] = mle(means)
phat = 1×2

    1.0000    0.0315

pci = 2×2

    0.9994    0.0311
    1.0006    0.0319

phat(1) y phat(2) son las MLE de la media y de la desviación estándar. pci(:,1) y pci(:,1) son los intervalos de confianza del 95% correspondientes.

Visualice la distribución de las medias de la muestra junto a la distribución normal ajustada.

numbins = 50;
histogram(means,numbins,'Normalization','pdf')
hold on
x = min(means):0.001:max(means);
y = normpdf(x,phat(1),phat(2));
plot(x,y,'r','LineWidth',2)

Figure contains an axes object. The axes object contains 2 objects of type histogram, line.

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