covar

Covarianza de salida y de estado de un sistema impulsado por ruido blanco

Sintaxis

P = covar(sys,W)
[P,Q] = covar(sys,W)


Descripción

covar calcula la covarianza estacionaria de la salida y de un modelo LTI sys impulsado por entradas de ruido blanco gaussiano w. Esta función se ocupa tanto de los casos de tiempo continuo como discreto.

P = covar(sys,W) devuelve la covarianza de respuesta de salida de estado estacionario

$$P=E(y{y}^T)$$

dada la intensidad de ruido

$$\begin{array}{cc}E(w(t)w{(\tau )}^T)=W\delta (t-\tau )& \text{(continuous time)}\\ E(w\left[k\right]w{\left[l\right]}^T)=W{\delta }_{kl}& \text{(discrete time)}\end{array}$$

[P,Q] = covar(sys,W) también devuelve la covarianza de estado en estado estacionario

$$Q=E(x{x}^T)$$

cuando sys es un modelo de espacio de estados (de lo contrario, Q está establecido en []).

Cuando se aplica a un arreglo LTI sys de N dimensiones, covar devuelve arreglos multidimensionales P, Q de modo que

P(:,:,i1,...iN) y Q(:,:,i1,...iN) son las matrices de covarianza para el modelo sys(:,:,i1,...iN).

Ejemplos

Calcule la covarianza de respuesta de salida del sistema SISO de tiempo discreto

$$\begin{array}{cc}H(z)=\frac{2z+1}{z^2+0.2z+0.5},& T_s\end{array}=0.1$$

debido al ruido blanco gaussiano de intensidad W = 5. Tipo

sys = tf([2 1],[1 0.2 0.5],0.1);
p = covar(sys,5)

Estos comandos generan el siguiente resultado.

p =
    30.3167

Puede comparar esta salida de covar con los resultados de la simulación.

randn('seed',0)
w = sqrt(5)*randn(1,1000);  % 1000 samples

% Simulate response to w with LSIM:
y = lsim(sys,w);

% Compute covariance of y values
psim = sum(y .* y)/length(w);

Esto genera

psim = 
    32.6269

Los dos valores de covarianza p y psim no coinciden perfectamente debido al horizonte finito de la simulación.

Algoritmos

Las funciones de transferencia y los modelos de cero-polo-ganancia se convierten primero a espacio de estados con ss.

Para modelos de espacio de estados de tiempo continuo

$$\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+Bw\\ y=Cx+Dw,\end{array}$$

la covarianza de estado en estado estacionario Q se obtiene resolviendo la ecuación de Lyapunov

$$AQ+Q{A}^T+BW{B}^T=0.$$

En tiempo discreto, la covarianza de estado Q resuelve la ecuación de Lyapunov de tiempo discreto

$$AQ{A}^T-Q+BW{B}^T=0.$$

Tanto en tiempo continuo como en tiempo discreto, la covarianza de respuesta de salida está dada por P = CQC^T + DWD^T. Para sistemas inestables, P y Q son infinitas. Si se trata de un sistema de tiempo continuo con alimentación distinta de cero, covar devuelve Inf para la covarianza de salida P.

Referencias

[1] Bryson, A.E. and Y.C. Ho, Applied Optimal Control, Hemisphere Publishing, 1975, pp. 458-459.

Historial de versiones

Introducido antes de R2006a

Consulte también

dlyap | lyap