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Diseño del lugar de las raíces

El diseño del lugar de las raíces es una técnica de diseño habitual de un sistema de control en la que se edita la ganancia del compensador, los polos y los ceros en el diagrama del lugar de las raíces.

Puesto que la ganancia de lazo abierto, k, de un sistema de control varía en un amplio rango de valores, el diagrama del lugar de las raíces muestra las trayectorias de los polos de lazo cerrado del sistema de feedback. Por ejemplo, en el siguiente sistema de seguimiento:

P(s) es la planta, H(s) es la dinámica del sensor, y k es una ganancia de escalar ajustable. Los polos de lazo cerrado son las raíces de

q(s)=1+kP(s)H(s)

La técnica del lugar de las raíces consiste en representar las trayectorias de los polos de lazo cerrado en el plano complejo mientras k varía. Puede utilizar esta gráfica para identificar el valor de ganancia asociado con un conjunto deseado de polos de lazo cerrado.

Ajustar un servomecanismo electrohidráulico utilizando el ajuste gráfico del lugar de las raíces

Este ejemplo muestra cómo diseñar un compensador para un servomecanismo electrohidráulico utilizando técnicas de ajuste gráfico del lugar de las raíces.

Modelo de planta

Una versión simplificada de un modelo de servomecanismo electrohidráulico consta de

  • Un amplificador push-pull (un par de electroimanes)

  • Un carrete deslizante en un recipiente de fluido hidráulico a alta presión

  • Aberturas de válvulas en el recipiente para permitir el flujo del fluido

  • Una cámara central con un pistón impulsado por un émbolo para aplicar fuerza a una carga

  • Un recipiente de retorno de fluido simétrico

La fuerza en el carrete es proporcional a la corriente en la bobina del electroimán. A medida que el carrete se mueve, la válvula se abre, permitiendo que el fluido hidráulico a alta presión circule por la cámara. El fluido en movimiento empuja el pistón en la dirección contraria al carrete. Para obtener más información sobre este modelo, incluida la derivación de un modelo linealizado, consulte [1].

Puede utilizar el voltaje de entrada del electroimán para controlar la posición del émbolo. Cuando disponga de mediciones de la posición del émbolo, puede utilizar el feedback para controlar esta posición, como se muestra a continuación, donde Gservo representa el servomecanismo:

Requisitos de diseño

En este ejemplo, ajuste el compensador, C(s) para cumplir los siguientes requisitos de respuesta al escalón de lazo cerrado:

  • El tiempo de estabilización del 2% es inferior a 0,05 segundos.

  • El sobreimpulso máximo es inferior al 5%.

Abrir Control System Designer

En la línea de comandos de MATLAB®, cargue un modelo linealizado del servomecanismo y abra Control System Designer en la configuración del editor del lugar de las raíces.

load ltiexamples Gservo
controlSystemDesigner('rlocus',Gservo);

La app se abre e importa Gservo como modelo de planta para la arquitectura de control predeterminada, Configuration 1.

En Control System Designer, se abren una gráfica Root Locus Editor y Step Response de entrada/salida.

Para ver simultáneamente la respuesta en frecuencia de lazo abierto y la respuesta al escalón de lazo cerrado, haga clic en las gráficas y arrástrelas a la ubicación deseada.

La app muestra las gráficas Bode Editor y Step Response una al lado de la otra.

En la gráfica de respuesta al escalón de lazo cerrado, el tiempo de subida es de unos dos segundos, lo que no satisface los requisitos de diseño.

Para facilitar la lectura del diagrama del lugar de las raíces, haga zoom para ampliar. En Root Locus Editor, haga clic con el botón secundario en el área de la gráfica y seleccione Properties.

En el cuadro de diálogo Property Editor, en la pestaña Limits, especifique los límites de Real Axis y Imaginary Axis entre -500 y 500.

Haga clic en Close.

Aumentar la ganancia del compensador

Para crear una respuesta más rápida, aumente la ganancia del compensador. En Root Locus Editor, haga clic con el botón secundario en el área de la gráfica y seleccione Edit Compensator.

En el cuadro de diálogo Compensator Editor, especifique una ganancia de 20.

En la gráfica Root Locus Editor, las ubicaciones de los polos de lazo cerrado se desplazan para reflejar el nuevo valor de ganancia. También se actualiza la gráfica Step Response.

La respuesta en lazo cerrado no satisface el requisito de tiempo de estabilización y emite un sonido no deseado.

Aumentar la ganancia provoca que el sistema esté subamortiguado, y si se sigue aumentando, se genera inestabilidad. Por tanto, para cumplir los requisitos de diseño, debe especificar dinámicas de compensador adicionales. Para obtener más información sobre cómo añadir y editar dinámicas de compensador, consulte Edit Compensator Dynamics.

Añadir polos al compensador

Para añadir un par de polos complejos al compensador, en Root Locus Editor, haga clic con el botón secundario en el área de la gráfica y seleccione Add Pole or Zero > Complex Pole. Haga clic en el área de la gráfica donde desee añadir uno de los polos complejos.

La app añade el par de polos complejos al diagrama del lugar de las raíces en forma de X rojas y actualiza la gráfica de respuesta al escalón.

En Root Locus Editor, arrastre los nuevos polos a las ubicaciones cerca de –140 ± 260i. Cuando arrastra un polo, el otro polo se actualiza automáticamente.

Sugerencia

Cuando arrastra un polo o cero, la app muestra el nuevo valor en la barra de estado, en el lado derecho.

Añadir ceros al compensador

Para añadir un par de ceros complejos al compensador, en el cuadro de diálogo Compensator Editor, haga clic con el botón secundario en la tabla Dynamics y seleccione Add Pole or Zero > Complex Zero.

La app añade un par de ceros complejos en –1 ± i al compensador.

En la tabla Dynamics, haga clic en la fila Complex Zero. Después, en la sección Edit Selected Dynamics, especifique un valor Real Part de -170 y un valor Imaginary Part de 430.

Las gráficas del compensador y de respuesta se actualizan automáticamente para reflejar las nuevas ubicaciones de los ceros.

En la gráfica Step Response, el tiempo de estabilización es de aproximadamente 0.1 segundos, lo cual no satisface los requisitos de diseño.

Ajustar la ubicación de los polos y los ceros

El proceso de diseño del compensador puede incluir varias pruebas y errores. Ajuste la ganancia del compensador, las ubicaciones de los polos y las ubicaciones de los ceros hasta que cumpla los requisitos de diseño.

Un posible diseño de compensador que satisfaga los requisitos de diseño es el siguiente:

  • Ganancia del compensador de 10

  • Polos complejos en –110 ± 140i

  • Ceros complejos en –70 ± 270i

En el cuadro de diálogo Compensator Editor, configure el compensador utilizando estos valores. En la gráfica Step Response, el tiempo de estabilización es de aproximadamente 0.05 segundos.

Para verificar el tiempo de estabilización exacto, haga clic con el botón secundario en el área de la gráfica Step Response y seleccione Characteristics > Settling Time. Aparece un indicador de tiempo de estabilización en la gráfica de respuesta.

Para ver el tiempo de estabilización, pase el cursor sobre el indicador de tiempo de estabilización.

El tiempo de estabilización es de aproximadamente 0.043 segundos, lo cual satisface los requisitos de diseño.

Referencias

[1] Clark, R. N. Control System Dynamics, Cambridge University Press, 1996.

Consulte también

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