¿Qué son los modelos de espacio de estados?

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¿Qué son los modelos de espacio de estados?

Definición de modelos de espacio de estados

Los modelos de espacio de estados son modelos que utilizan variables de estado para describir un sistema mediante un conjunto de ecuaciones en diferencias o ecuaciones diferenciales de primer orden, en lugar de una o más ecuaciones en diferencias o ecuaciones diferenciales de nésimo orden. Si el conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden es lineal en las variables de estado y de entrada, el modelo se denomina modelo de espacio de estados lineal.

Nota

Generalmente, la documentación de System Identification Toolbox™ se refiere a los modelos de espacio de estados lineales simplemente como modelos de espacio de estados. También puede identificar modelos de espacio de estados no lineales utilizando objetos de espacio de estados neuronales y de caja gris. Para más información, consulte Available Nonlinear Models.

La estructura del modelo de espacio de estados lineal es una buena opción para una estimación rápida porque requiere que se especifique solo un parámetro, el orden del modelo, n. El orden del modelo es un entero igual a la dimensión de x(t) y se relaciona con, pero no es necesariamente igual a, el número de entradas y salidas retrasadas utilizadas en la ecuación de diferencias correspondiente. Las variables de estado x(t) se pueden reconstruir a partir de los datos de entrada-salida medidos, pero no se miden durante un experimento.

Representación en tiempo continuo

A menudo es más fácil definir un modelo de espacio de estados parametrizado en tiempo continuo porque las leyes físicas suelen describirse en términos de ecuaciones diferenciales. En tiempo continuo, la descripción del espacio de estados lineal tiene la siguiente forma:

$\begin{array}{l} \dot{x} (t) = F x (t) + G u (t) + \tilde{K} w (t) \\ y (t) = H x (t) + D u (t) + w (t) \\ x (0) = x 0 \end{array}$

Las matrices F, G, H y D contienen elementos con significado físico (por ejemplo, constantes materiales). x0 especifica los estados iniciales.

Nota

$\tilde{K}$ = 0 proporciona la representación en espacio de estados de un modelo de error de salida. Para más información, consulte What Are Polynomial Models?.

Puede estimar un modelo de espacio de estados de tiempo continuo utilizando datos del dominio del tiempo y de la frecuencia.

Representación en tiempo discreto

La estructura del modelo de espacio de estados lineal de tiempo discreto a menudo se escribe en la forma de innovaciones que describe el ruido:

$\begin{array}{l} x (k T + T) = A x (k T) + B u (k T) + K e (k T) \\ y (k T) = C x (k T) + D u (k T) + e (k T) \\ x (0) = x 0 \end{array}$

donde T es el tiempo de muestra, u(kT) es la entrada en el instante de tiempo kT, y y(kT) es la salida en el instante de tiempo kT.

Nota

K=0 proporciona la representación en espacio de estados de un modelo de error de salida. Para obtener más información sobre los modelos de error de salida, consulte What Are Polynomial Models?.

Los modelos de espacio de estados de tiempo discreto proporcionan el mismo tipo de relación de diferencia lineal entre las entradas y las salidas que el modelo ARMAX lineal, pero se reorganizan de modo que solo haya un retraso en las expresiones.

No se puede estimar un modelo de espacio de estados de tiempo discreto utilizando datos del dominio de frecuencia de tiempo continuo.

La forma de innovaciones utiliza una única fuente de ruido, e(kT), en lugar de ruido de proceso y medición independientes. Si tiene conocimientos previos sobre el ruido de proceso y medición, puede utilizar la estimación de caja gris lineal para identificar un modelo de espacio de estados con fuentes de ruido independientes estructuradas. Para más información, consulte Identifying State-Space Models with Separate Process and Measurement Noise Descriptions.

Relación entre matrices de estado de tiempo continuo y de tiempo discreto

Las relaciones entre las matrices de espacio de estados discretas A, B, C, D y K y las matrices de espacio de estados de tiempo continuo F, G, H, D y $\tilde{K}$ se dan para una entrada constante por partes, de la siguiente manera:

$\begin{array}{l} A = e^{F T} \\ B = \int_{0}^{T} e^{F τ} G d τ \\ C = H \end{array}$

Estas relaciones suponen que la entrada es constante por partes a lo largo de intervalos de tiempo $k T \leq t < (k + 1) T$ .

La relación exacta entre K y $\tilde{K}$ es complicada. Sin embargo, para un tiempo de muestra corto T, la siguiente aproximación funciona bien:

$K = \int_{0}^{T} e^{F τ} \tilde{K} d τ$

Representación de funciones de transferencia en el espacio de estados

Para los modelos lineales, la descripción general del modelo viene dada por:

$y = G u + H e$

G es una función de transferencia que lleva la entrada u a la salida y. H es una función de transferencia que describe las propiedades del modelo de ruido de salida aditivo.

Las relaciones entre las funciones de transferencia y las matrices de espacio de estados de tiempo discreto están dadas por las siguientes ecuaciones:

$\begin{array}{l} G (q) = C (^{q I_{n x} - A) - 1} B + D \\ H (q) = C (^{q I_{n x} - A) - 1} K + I_{n y} \end{array}$

Aquí, I_nx es la matriz de identidad nx por nx, y nx es el número de estados. I_ny es la matriz identidad ny por ny, y ny es la dimensión de y y e.

La representación del espacio de estados en el caso de tiempo continuo es similar.