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Aproximación condicional totalmente independiente para modelos GPR

La aproximación totalmente independiente condicional (FIC) es una forma de aproximar sistemáticamente la verdadera función del kernel GPR de una manera que evita el tiempo que sigue manteniendo un proceso Gaussiano válido.[1]problema de desviación predictiva de la aproximación SR Puede especificar el método FIC para la estimación de parámetros mediante el argumento de par nombre-valor en la llamada a.'FitMethod','fic'fitrgp Para la predicción mediante FIC, puede usar el argumento de par nombre-valor en la llamada a.'PredictMethod','fic'fitrgp

Aproximando la función del kernel

La aproximación de la FIC a k(xi,xj|θ) para el conjunto activo AN={1,2,...,n} viene dado por:

k^FIC(xi,xj|θ,A)=k^SR(xi,xj|θ,A)+δij(k(xi,xj|θ)k^SR(xi,xj|θ,A)),δij={1,ifi=j,0ifij.

Es decir, la aproximación de FIC es igual a la aproximación de SR si ij. Para i=j, el software utiliza el valor exacto del kernel en lugar de una aproximación. Defina una matriz a-por-diagonalnn Ω(X|θ,A) como sigue:

[Ω(X|θ,A)]ij=δij(k(xi,xj|θ)k^SR(xi,xj|θ,A))={k(xi,xj|θ)k^SR(xi,xj|θ,A)ifi=j,0ifij.

La aproximación de la FIC a K(X,X|θ) entonces es dada por:

K^FIC(X,X|θ,A)=K^SR(X,X|θ,A)+ Ω(X|θ,A)= K(X,XA|θ)K(XA,XA|θ)1K(XA,X|θ)+Ω(X|θ,A).

Estimación de parámetros

Reemplazar K(X,X|θ) Por K^FIC(X,X|θ,A) en la función marginal log verosimilitud produce su aproximación FIC:

logPFIC(y|X,β,θ,σ2,A)=12(yHβ)T[K^FIC(X,X|θ,A)+σ2In]1(yHβ)N2log2π12log|K^FIC(X,X|θ,A)+σ2In|.

Como en el, el software estima los parámetros por primera computaciónmétodo exacto β^(θ,σ2), la estimación óptima de βDado θ Y σ2. A continuación, estima θY σ2 utilizando el β-la probabilidad de registro marginal perfilada. La estimación de la FIC para β para θY σ2 Es

β^FIC(θ,σ2,A)=[HT(K^FIC(X,X|θ,A)+σ2 IN)1H*]1HT(K^FIC(X,X|θ,A)+σ2 IN)1y**,

*=HTΛ(θ,σ2,A)1HHTΛ(θ,σ2,A)1K(X,XA|θ)BA1K(XA,X|θ)Λ(θ,σ2,A)1H,**=HTΛ(θ,σ2,A)1yHTΛ(θ,σ2,A)1K(X,XA|θ)BA1K(XA,X|θ)Λ(θ,σ2,A)1y,BA=K(XA,XA|θ)+K(XA,X|θ)Λ(θ,σ2,A)1K(X,XA|θ),Λ(θ,σ2,A)=Ω(X|θ,A)+σ2In.

Usando β^FIC(θ,σ2,A)el β-la probabilidad de logaritmo marginal perfilada para la aproximación FIC es:

logPFIC(y|X,β^FIC(θ,σ2,A),θ,σ2,A)=12(yHβ^FIC(θ,σ2,A))T(K^FIC(X,X|θ,A)+σ2IN)1(yHβ^FIC(θ,σ2,A))N2log2π12log|K^FIC(X,X|θ,A)+σ2IN|,

Dónde

(K^FIC(X,X|θ,A)+σ2IN)1=Λ(θ,σ2,A)1Λ(θ,σ2,A)1K(X,XA|θ)BA1K(XA,X|θ)Λ(θ,σ2,A)1,log|K^FIC(X,X|θ,A)+σ2IN|=log|Λ(θ,σ2,A)|+log|BA|log|K(XA,XA|θ)|.

Predicción

La aproximación de la FIC a la distribución de ynew Dado y, X, xnew Es

P(ynew|y,X,xnew)=N(ynew|h(xnew)Tβ+μFIC,σnew2+ΣFIC),

Dónde μFIC Y ΣFIC son las aproximaciones de la FIC a μ Y Σ dado en.predicción utilizando el método GPR exacto Como en el caso SR, μFIC Y ΣFIC se obtienen reemplazando todas las apariciones del kernel verdadero con su aproximación FIC. Las formas finales de μFIC Y ΣFIC son los siguientes:

μFIC= K(xnewT,XA|θ) BA1 K(XA,X|θ) Λ(θ,σ2,A)1(yHβ),

ΣFIC=k(xnew,xnew|θ)K(xnewT,XA|θ)K(XA,XA|θ)1K(XA,xnewT|θ)+K(xnewT,XA|θ)BA1K(XA,xnewT|θ),

Dónde

BA=K(XA,XA|θ)+K(XA,X|θ)Λ(θ,σ2,A)1K(X,XA|θ),Λ(θ,σ2,A)=Ω(X|θ,A)+σ2In.

Referencias

[1] Candela, J. Q. A Unifying View of Sparse Approximate Gaussian Process Regression. Journal of Machine Learning Research. Vol 6, pp. 1939–1959, 2005.

Consulte también

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