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Métodos de conversión entre tiempo continuo y discreto

System Identification Toolbox™ ofrece varios métodos de discretización e interpolación para convertir modelos de sistemas dinámicos identificados entre tiempo continuo y discreto y para remuestrear modelos en tiempo discreto. Algunos métodos tienden a proporcionar una coincidencia mejor en dominio de la frecuencia entre el sistema original y el sistema convertido, mientras que otros proporcionan una coincidencia mejor en el dominio del tiempo. Utilice la siguiente tabla para seleccionar el método más apropiado para su aplicación.

Método de discretización	Utilícelo cuando
Retención de orden cero	Se desea una discretización exacta en el dominio del tiempo para entradas escalonadas.
Retención de primer orden	Se desea una discretización exacta en el dominio del tiempo para entradas lineales por partes.
Mapeo de impulso invariante (solo conversión entre tiempo continuo y discreto)	Se desea una discretización exacta en el dominio del tiempo para entradas de tren de impulso.
Aproximación de Tustin	Se desea una buena coincidencia en el dominio de la frecuencia entre modelos en tiempo continuo y discreto. El modelo tenga una dinámica importante en alguna frecuencia determinada.
Equivalentes de correspondencia de polos y ceros	Tenga un modelo SISO. Se desea una buena coincidencia en el dominio de la frecuencia entre modelos en tiempo continuo y discreto.
Mínimos cuadrados (Control System Toolbox) (solo conversión entre tiempo continuo y discreto)	Tenga un modelo SISO. Se desea una buena coincidencia en el dominio de la frecuencia entre modelos en tiempo continuo y discreto. Se desea capturar dinámicas de sistema rápidas, pero deba usar un tiempo de muestreo mayor.

Para obtener más información sobre cómo especificar un método de conversión en la línea de comandos, consulte c2d, d2c y d2d. Puede experimentar de manera interactiva con diferentes métodos de discretización en Live Editor utilizando la tarea Convert Model Rate (Control System Toolbox) (requiere licencia).

Retención de orden cero

El método de retención de orden cero (ZOH) proporciona una coincidencia exacta entre los sistemas en tiempo continuo y discreto en el dominio del tiempo para entradas escalonadas.

El siguiente diagrama de bloques ilustra la discretización de retención de orden cero H_d(z) de un modelo lineal en tiempo continuo H(s).

El bloque ZOH genera la señal de entrada en tiempo continuo u(t) manteniendo cada valor de muestreo u(k) constante a lo largo de un periodo de muestreo:

$$u\left(t\right)=u\left[k\right],k{T}_s\le t\le \left(k+1\right)T_s$$

La señal u(t) es la entrada para el sistema continuo H(s). La salida y[k] resulta de muestrear y(t) cada T_s segundos.

Por el contrario, dado un sistema discreto H_d(z), d2c produce un sistema continuo H(s). La discretización ZOH de H(s) coincide con H_d(z).

La conversión ZOH en tiempo discreto a continuo tiene las siguientes limitaciones:

• d2c no puede convertir modelos LTI con polos en z = 0.

• En el caso de los modelos LTI en tiempo discreto que tienen polos reales negativos, la conversión d2c ZOH produce un sistema continuo con un orden superior. El orden del modelo aumenta porque un polo real negativo en el dominio z se mapea a un valor imaginario puro en el dominio s. Este tipo de mapeo resulta en un modelo en tiempo continuo con datos complejos. Para evitar este problema, el software introduce en su lugar un par conjugado de polos complejos en el dominio s.

Método ZOH para sistemas con retardos de tiempo

Puede utilizar el método ZOH para discretizar modelos en tiempo continuo SISO o MIMO con retardos de tiempo. El método ZOH genera una discretización exacta para sistemas con retardos de entrada, retardos de salida o retardos de transporte.

En el caso de sistemas con retardos internos (retardos en lazos de feedback), el método ZOH da como resultado discretizaciones aproximadas. La siguiente figura ilustra un sistema con un retardo interno.

En el caso de estos sistemas, c2d realiza las siguientes acciones para calcular una discretización ZOH aproximada:

1. Descompone el retardo τ como $$\tau =k{T}_s+\rho$$ con $$0\le \rho <T_s$$.

2. Absorbe el retardo fraccionario $$\rho$$ en H(s).

3. Discretiza de H(s) a H(z).

4. Representa la parte entera del retardo kT_s como un retardo interno en tiempo discreto z^–k. El modelo final discretizado aparece en la siguiente figura:

Retención de primer orden

El método de retención de primer orden (FOH) proporciona una coincidencia exacta entre los sistemas en tiempo continuo y discreto en el dominio del tiempo para entradas lineales por partes.

FOH se diferencia de ZOH por el mecanismo de retención subyacente. Para convertir las muestras de entrada u[k] en una entrada continua u(t), FOH utiliza la interpolación lineal entre muestras:

$$u\left(t\right)=u\left[k\right]+\frac{t-k{T}_s}{T_s}\left(u\left[k+1\right]-u\left[k\right]\right),k{T}_s\le t\le \left(k+1\right)T_s$$

En general, este método es más preciso que el método ZOH para sistemas impulsados por entradas suaves.

El método FOH es diferente del FOH causal estándar y se denomina de manera más apropiada aproximación triangular (consulte [2], pág. 228). El método también se conoce como aproximación invariante de rampa.

Método FOH para sistemas con retardos de tiempo

Puede utilizar el método FOH para discretizar modelos en tiempo continuo SISO o MIMO con retardos de tiempo. El método FOH se ocupa de retardos de tiempo de la misma manera que el método ZOH. Consulte Método ZOH para sistemas con retardos de tiempo.

Mapeo de impulso invariante

El mapeo de impulso invariante produce un modelo en tiempo discreto con la misma respuesta al impulso que el sistema en tiempo continuo. Por ejemplo, compare la respuesta al impulso de un sistema continuo de primer orden con la discretización invariante al impulso:

G = tf(1,[1,1]);
Gd1 = c2d(G,0.01,'impulse');
impulse(G,Gd1)

La gráfica de respuestas al impulso muestra que las respuestas al impulso de los sistemas continuo y discretizado coinciden.

Mapeo de impulso invariante para sistemas con retardos de tiempo

Puede utilizar el mapeo de impulso invariante para discretizar modelos en tiempo continuo SISO o MIMO con retardos de tiempo, salvo que el método no admite modelos ss con retardos internos. En el caso de los modelos compatibles, el mapeo de impulso invariante genera una discretización exacta del retardo de tiempo.

Aproximación de Tustin

La aproximación bilineal o de Tustin genera la mejor coincidencia en el dominio de la frecuencia entre los sistemas en tiempo continuo y discretizado. Este método relaciona las funciones de transferencia del dominio s con las del dominio z utilizando la aproximación:

$$z=e^{s{T}_s}\approx \frac{1+s{T}_s/2}{1-s{T}_s/2}.$$

En las conversiones c2d, la discretización H_d(z) de una función de transferencia continua H(s) es:

$$H_d\left(z\right)=H\left(s^{\prime }\right),s^{\prime }=\frac{2}{T_s}\frac{z-1}{z+1}$$

Del mismo modo, la conversión d2c se basa en la correspondencia inversa

$$H\left(s\right)=H_d\left(z^{\prime }\right),z^{\prime }=\frac{1+s{T}_s/2}{1-s{T}_s/2}$$

Cuando se convierte un modelo en espacio de estados utilizando el método de Tustin, los estados no se conservan. La transformación de estados depende de las matrices de espacio de estados y de si el sistema tiene retardos de tiempo. Por ejemplo, para un modelo en tiempo continuo explícito (E = I) sin retardos de tiempo, el vector de estado w [k] del modelo discretizado está relacionado con el vector de estado en tiempo continuo x(t) mediante:

$$w\left[k{T}_s\right]=\left(I-A\frac{T_s}{2}\right)x\left(k{T}_s\right)-\frac{T_s}{2}Bu\left(k{T}_s\right)=x\left(k{T}_s\right)-\frac{T_s}{2}\left(Ax\left(k{T}_s\right)+Bu\left(k{T}_s\right)\right).$$

T_s es el tiempo de muestreo del modelo en tiempo discreto. A y B son matrices de espacio de estados del modelo en tiempo continuo.

La aproximación de Tustin no está definida para sistemas con polos en z = –1 y está mal condicionada para sistemas con polos cerca de z = –1.

Aproximación de Tustin con precompensación de frecuencia

Si el sistema tiene una dinámica importante en una frecuencia particular que se desea que la transformación conserve, puede utilizar el método de Tustin con precompensación de frecuencia. Este método garantiza una coincidencia entre las respuestas en tiempo continuo y en tiempo discreto en la frecuencia de precompensación.

La aproximación de Tustin con precompensación de frecuencia utiliza la siguiente transformación de variables:

$$H_d\left(z\right)=H\left(s^{\prime }\right),s^{\prime }=\frac{\omega }{\tan \left(\omega T_s/2\right)}\frac{z-1}{z+1}$$

Este cambio de variable garantiza la coincidencia de la respuesta en frecuencia de tiempo continuo y discreto en la frecuencia de precompensación ω, debido a la siguiente correspondencia:

$$H\left(j\omega \right)=H_d\left(e^{j\omega T_s}\right)$$

Aproximación de Tustin para sistemas con retardos de tiempo

Puede utilizar la aproximación de Tustin para discretizar modelos en tiempo continuo SISO o MIMO con retardos de tiempo.

De forma predeterminada, el método de Tustin redondea cualquier retardo de tiempo al múltiplo más próximo del tiempo de muestreo. Por tanto, para cualquier retardo de tiempo tau, la parte entera del retardo, k*Ts, se mapea a un retardo de k periodos de muestreo en el modelo discretizado. Este enfoque ignora el retardo fraccionario residual, tau - k*Ts.

Puede aproximar la parte fraccionaria del retardo mediante un filtro de paso total discreto (filtro de Thiran) del orden especificado. Para ello, utilice la opción ThiranOrder de c2dOptions.

Para comprender cómo el método de Tustin maneja los sistemas con retardos de tiempo, considere el siguiente modelo en espacio de estados SISO G(s). El modelo tiene un retardo de entrada τ_i, un retardo de salida τ_o y un retardo interno τ.

La siguiente figura muestra el resultado general de la discretización de G(s) utilizando el método de Tustin.

De forma predeterminada, c2d convierte los retardos de tiempo a retardos de tiempo enteros puros. El comando c2d calcula los retardos enteros redondeando cada retardo de tiempo al múltiplo más próximo del tiempo de muestreo T_s. De este modo, en el caso predeterminado, m_i = round(τ_i/T_s), m_o = round(τ_o/T_s), and m = round(τ/T_s).. También en este caso, F_i(z) = F_o(z) = F(z) = 1.

Si establece ThiranOrder en un valor distinto de cero, c2d aproxima la parte fraccionaria de los retardos de tiempo mediante filtros de Thiran F_i(z), F_o(z) y F(z).

Los filtros de Thiran añaden estados adicionales al modelo. El número máximo de estados adicionales para cada retardo es ThiranOrder.

Por ejemplo, para el retardo de entrada τ_i, el orden del filtro de Thiran F_i(z) es:

order(F_i(z)) = max(ceil(τ_i/T_s), ThiranOrder).

Si ceil(τ_i/T_s) < ThiranOrder, el filtro de Thiran F_i(z) aproxima todo el retardo de entrada τ_i. Si ceil(τ_i/T_s) > ThiranOrder, el filtro de Thiran solo aproxima una parte del retardo de entrada. En ese caso, c2d representa el resto del retardo de entrada como una cadena de retardos unitarios z^–m_i, donde

m_i = ceil(τ_i/T_s) – ThiranOrder

c2d utiliza filtros de Thiran y ThiranOrder de una manera similar para aproximar el retardo de salida τ_o y el retardo interno τ.

Cuando discretiza modelos tf y zpk utilizando el método de Tustin, c2d agrega primero todos los retardos de entrada, salida y de transporte en un único retardo de transporte τ_TOT para cada canal. Después, c2d aproxima τ_TOT como un filtro de Thiran y una cadena de retardos unitarios tal como se describe para cada uno de los retardos de tiempo de los modelos ss.

Para obtener más información sobre los filtros de Thiran, consulte la página de referencia de thiran (Control System Toolbox) y [4].

Equivalentes de correspondencia de polos y ceros

Este método de conversión, que calcula equivalentes de correspondencia de polos y ceros, solo se aplica a sistemas SISO. Los sistemas continuo y discretizado tienen ganancias de CC coincidentes. Sus polos y ceros están relacionados mediante la transformación:

$$z_i=e^{s_i{T}_s}$$

donde:

• z_i es el i-ésimo polo o cero del sistema en tiempo discreto.

• s_i es el i-ésimo polo o cero del sistema en tiempo continuo.

• T_s es el tiempo de muestreo.

Para obtener más información, consulte [2].

Correspondencia de polos y ceros para sistemas con retardos de tiempo

Puede utilizar la correspondencia de polos y ceros para discretizar modelos en tiempo continuo SISO con retardo de tiempo, salvo que el método no admite modelos ss con retardos internos. El método de correspondencia de polos y ceros se ocupa de retardos de tiempo de la misma manera que la aproximación de Tustin. Consulte Aproximación de Tustin para sistemas con retardos de tiempo.

Mínimos cuadrados

El método de mínimos cuadrados minimiza el error entre las respuestas en frecuencia de los sistemas en tiempo continuo y discreto hasta la frecuencia Nyquist utilizando un enfoque de optimización con ajuste de vectores. Este método es útil cuando desea capturar dinámicas de sistema rápidas, pero debe usar un tiempo de muestreo mayor, por ejemplo, cuando los recursos computacionales son limitados.

Este método solo admite la función c2d y únicamente para sistemas SISO.

Al igual que con la aproximación de Tustin y la correspondencia de polos y ceros, el método de mínimos cuadrados proporciona una buena coincidencia entre las respuestas en frecuencia del sistema en tiempo continuo original y el sistema convertido a tiempo discreto. Sin embargo, cuando se usa el método de mínimos cuadrados con:

• El mismo tiempo de muestreo que la aproximación de Tustin o la correspondencia de polos y ceros, se obtiene una diferencia menor entre las respuestas en frecuencia en tiempo continuo y discreto.

• Un tiempo de muestreo menor que el que utilizaría con la aproximación de Tustin o la correspondencia de polos y ceros, puede seguir obteniendo un resultado que cumpla los requisitos. Esto resulta útil si los recursos computacionales son limitados, dado que el tiempo de muestreo más lento significa que el procesador debe trabajar menos.

Referencias

[1] Åström, K.J. and B. Wittenmark, Computer-Controlled Systems: Theory and Design, Prentice-Hall, 1990, pp. 48-52.

[2] Franklin, G.F., Powell, D.J., and Workman, M.L., Digital Control of Dynamic Systems (3rd Edition), Prentice Hall, 1997.

[3] Smith, J.O. III, "Impulse Invariant Method", Physical Audio Signal Processing, August 2007. https://www.dsprelated.com/dspbooks/pasp/Impulse_Invariant_Method.html.

[4] T. Laakso, V. Valimaki, "Splitting the Unit Delay", IEEE Signal Processing Magazine, Vol. 13, No. 1, p.30-60, 1996.

Consulte también

Funciones

• c2d | d2c | c2dOptions | d2cOptions | d2d | d2dOptions | thiran (Control System Toolbox)

Tareas de Live Editor

• Convert Model Rate (Control System Toolbox)