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Crear materiales para cursos interactivos con Live Editor

El siguiente ejemplo muestra cómo usar scripts en vivo en el aula. Este ejemplo muestra cómo:

  • Incluir ecuaciones para explicar los cálculos matemáticos subyacentes.

  • Ejecutar secciones individuales de código de MATLAB.

  • Representar gráficas para su visualización.

  • Utilizar enlaces e imágenes para ofrecer información complementaria.

  • Probar con código de MATLAB de manera interactiva.

  • Reforzar conceptos con distintos ejemplos.

  • Utilizar scripts en vivo para las tareas.

¿Qué significa hallar la raíz n-ésima de 1?

Añada ecuaciones para explicar los cálculos matemáticos subyacentes de conceptos que desee explicar. Para añadir una ecuación, vaya a la pestaña Live Editor y haga clic en el botón Equation. Después, seleccione los símbolos y las estructuras en la pestaña Equation.

Hoy vamos a hablar acerca de cómo hallar las raíces de 1. ¿Qué significa hallar la raíz n-ésima de 1? Las raíces n-ésimas de 1 son las soluciones a la ecuación xn1=0.

En raíces cuadradas, es sencillo. Los valores son x=±1=±1. En raíces con potencias mayores, se vuelve algo más complicado. Para hallar las raíces cúbicas de 1, tenemos que resolver la ecuación x31=0. Podemos factorizar esta ecuación para obtener

(x1)(x2+x+1)=0.

Así, la primera raíz cúbica es 1. Ahora podemos usar la fórmula cuadrática para obtener la segunda y la tercera raíz cúbica.

x=b±b24ac2a

Calcular las raíces cúbicas

Para ejecutar secciones individuales de código de MATLAB, vaya a la pestaña Live Editor y haga clic en el botón Run Section. La salida aparece junto con el código que la ha generado. Cree secciones con el botón Section Break.

En nuestro caso, a, b y c son igual a 1. Las otras dos raíces se calculan a partir de estas fórmulas:

a = 1 ; b = 1 ; c = 1;
roots = [];
roots(1) = 1;
roots(2) = (-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))/(2*a);    % Use the quadratic formula
roots(3) = (-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))/(2*a);

Por lo tanto, el conjunto completo de raíces cubicas de 1 son:

disp(roots')
   1.0000 + 0.0000i
  -0.5000 - 0.8660i
  -0.5000 + 0.8660i

Mostrar raíces en un plano complejo

Incluya gráficas en Live Editor para que los alumnos puedan visualizar conceptos importantes.

Podemos visualizar las raíces en el plano complejo para ver su ubicación.

range = 0:0.01:2*pi;                              
plot(cos(range),sin(range),'k')                % Plot the unit circle                 
axis square; box off
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
hold on
plot(real(roots), imag(roots), 'ro')           % Plot the roots

Hallar raíces de orden superior

Para añadir información complementaria, vaya a la pestaña Live Editor y haga clic en los botones Hyperlink e Image. Los alumnos pueden usar información complementaria para estudiar los temas de estudio fuera del aula.

Una vez que supere n=3, las cosas se complican aún más. Para raíces cuartas, podemos usar la fórmula cuártica descubierta por Lodovico Ferrari en 1540. Sin embargo, esta fórmula es larga y difícil de manejar y no ayuda a hallar raíces mayores que 4. Por suerte, hay un método mejor, gracias al matemático francés del siglo XVII Abraham de Moivre.

Abraham de Moivre nació en Vitry en Champagne el 26 de mayo de 1667. Era contemporáneo y amigo de Isaac Newton, Edmund Halley y James Stirling. https://en.wikipedia.org/wiki/Abraham_de_Moivre

Es conocido por el teorema de Moivre, que enlaza números complejos y trigonometría, y por su trabajo en la distribución normal y la teoría de la probabilidad. De Moivre escribió un libro sobre la teoría de la probabilidad, La doctrina de las probabilidades, que se dice que es muy apreciado por la gente que apuesta. De Moivre descubrió primero la fórmula de Binet, la expresión de forma cerrada para los números de Fibonacci que vinculan la n-ésima potencia de la proporción áurea φ con el n-ésimo número de Fibonacci. También fue el primero en postular el teorema del límite central, una de las piedras angulares de la teoría de la probabilidad.

El teorema de Moivre afirma que para cualquier x real y cualquier n integral,

(cosx+isinx)n=cos(nx)+isin(nx).

¿Cómo nos ayuda esto a resolver nuestro problema? También sabemos que, para cualquier k integral,

1=cos(2kπ)+isin(2kπ).

Por lo tanto, con el teorema de Moivre obtenemos

11/n=(cos(2kπ)+isin(2kπ))1/n=cos(2kπn)+isin(2kπn).

Calcular las n-ésimas raíces de 1

Use Live Editor para probar con el código de MATLAB de manera interactiva. Añada controles para mostrar a los alumnos cómo se ve afectado el análisis por los parámetros importantes. Para añadir controles, vaya a la pestaña Live Editor, haga clic en el botón Controls y seleccione una de las opciones disponibles.

Podemos usar esta última ecuación para hallar las n-ésimas raíces de 1. Por ejemplo, para cada valor de n, podemos usar la fórmula anterior con los valores de k=0n1. Podemos usar este código de MATLAB para probar con distintos valores de n:

n = 6;
roots = zeros(1, n);
for k = 0:n-1
    roots(k+1) = cos(2*k*pi/n) + 1i*sin(2*k*pi/n);    % Calculate the roots
end
disp(roots')
   1.0000 + 0.0000i
   0.5000 - 0.8660i
  -0.5000 - 0.8660i
  -1.0000 - 0.0000i
  -0.5000 + 0.8660i
   0.5000 + 0.8660i

La representación de las raíces en el plano complejo muestra que las raíces tienen la misma distancia alrededor del círculo de unidad en intervalos de 2π/n.

cla
plot(cos(range),sin(range),'k')                   % Plot the unit circle
hold on
plot(real(roots),imag(roots),'ro')              % Plot the roots

Hallar las n-ésimas raíces de -1, i y -i

Use ejemplos adicionales para reforzar conceptos importantes. Modifique el código durante la clase para responder a preguntas o analizar ideas con más profundidad.

Podemos hallar las raíces de -1, i y -i mediante las extensiones del enfoque descrito más arriba. Si miramos el círculo de unidad, vemos que los valores de 1, i, -1 y -i aparecen en los ángulos 0, π/2, π y 3π/2 respectivamente.

r = ones(1,4);
theta = [0 pi/2 pi 3*pi/2];
[x,y] = pol2cart(theta,r);
cla
plot(cos(range),sin(range),'k')           % Plot the unit circle
hold on
plot(x, y, 'ro')                          % Plot the values of 1, i, -1, and -i
text(x(1)+0.05,y(1),'1')                  % Add text labels
text(x(2),y(2)+0.1,'i')
text(x(3)-0.1,y(3),'-1')
text(x(4)-0.02,y(4)-0.1,'-i')

A partir de esto, podemos escribir la siguiente expresión para i:

i=cos((2k+1/2)π)+isin((2k+1/2)π).

Si tomamos las n-ésimas raíces de ambos lados, nos da

i1/n=(cos((2k+1/2)π)+isin((2k+1/2)π))1/n

y, a partir del teorema de Moivre, obtenemos

i1/n=(cos((2k+1/2)π)+isin((2k+1/2)π))1/n=cos((2k+1/2)πn)+isin((2k+1/2)πn).

Deberes

Use scripts en vivo como base para las tareas. Dé a los alumnos el script en vivo utilizado en la clase y hágales completar ejercicios que demuestren su comprensión del material.

Use las técnicas descritas anteriormente para completar los siguientes ejercicios:

Ejercicio 1: Escriba código de MATLAB para calcular las 3 raíces cúbicas de i.

% Put your code here

Ejercicio 2: Escriba código de MATLAB para calcular las 5 raíces quintas de -1.

% Put your code here

Ejercicio 3: Describa el enfoque matemático que usaría para calcular las n-ésimas raíces de un número complejo arbitrario. Incluya las ecuaciones que ha utilizado en su enfoque.

(Describa aquí su enfoque)

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