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Crear materiales de cursos interactivos mediante el editor en vivo

The following is an example of how to use live scripts in the classroom. This example shows how to:

  • Add equations to explain the underlying mathematics.

  • Execute individual sections of MATLAB code.

  • Include plots for visualization.

  • Use links and images to provide supporting information.

  • Experiment with MATLAB code interactively.

  • Reinforce concepts with other examples.

  • Use live scripts for assignments.

¿Qué significa encontrar la raíz TH de 1?n

Add equations to explain the underlying mathematics for concepts that you want to teach. To add an equation, go to the Live Editor tab and click the Equation button. Then, select from the symbols and structures in the Equation tab.

Hoy vamos a hablar de encontrar las raíces de 1. ¿Qué significa encontrar la raíz TH de 1?n Las raíces TH de 1 son las soluciones a la ecuaciónn

<math display="inline">
<mrow>
<msup>
<mrow>
<mi mathvariant="italic">x</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi mathvariant="italic">n</mi>
</mrow>
</msup>
<mo></mo>
<mn>1</mn>
<mo>=</mo>
<mn>0</mn>
</mrow>
</math>
.

Para las raíces cuadradas, esto es fácil. Los valores se

<math display="inline">
<mrow>
<mi mathvariant="italic">x</mi>
<mo>=</mo>
<mo>±</mo>
<msqrt>
<mrow>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msqrt>
<mo>=</mo>
<mo>±</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</math>
. Para las raíces de orden superior, se pone un poco más difícil. Para encontrar las raíces cúbicas de 1 necesitamos resolver la ecuación
<math display="inline">
<mrow>
<msup>
<mrow>
<mi mathvariant="italic">x</mi>
</mrow>
<mrow>
<mn>3</mn>
</mrow>
</msup>
<mo stretchy="false"></mo>
<mn>1</mn>
<mo stretchy="false">=</mo>
<mn>0</mn>
</mrow>
</math>
. Podemos factorizar esta ecuación para obtener

<math display="block">
<mrow>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mi mathvariant="italic">x</mi>
<mo></mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<msup>
<mrow>
<mi mathvariant="italic">x</mi>
</mrow>
<mrow>
<mn>2</mn>
</mrow>
</msup>
<mo>+</mo>
<mi mathvariant="italic">x</mi>
<mo>+</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mn>0</mn>
<mo>.</mo>
</mrow>
</math>

Así que la primera raíz cúbica es 1. Ahora podemos usar la fórmula cuadrática para obtener las raíces del segundo y tercer cubo.

<math display="block">
<mrow>
<mi mathvariant="italic">x</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mo></mo>
<mi mathvariant="italic">b</mi>
<mo>±</mo>
<msqrt>
<mrow>
<msup>
<mrow>
<mi mathvariant="italic">b</mi>
</mrow>
<mrow>
<mn>2</mn>
</mrow>
</msup>
<mo></mo>
<mn>4</mn>
<mi mathvariant="normal">ac</mi>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi mathvariant="italic">a</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>

Calcule las raíces del cubo

To execute individual sections of MATLAB code, go to the Live Editor tab and click the Run Section button. Output appears together with the code that created it. Create sections using the Section Break button.

En nuestro caso, y son todos iguales a 1.abc Las otras dos raíces se calculan a partir de estas fórmulas:

a = 1 ; b = 1 ; c = 1; roots = []; roots(1) = 1; roots(2) = (-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))/(2*a);    % Use the quadratic formula roots(3) = (-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))/(2*a);

Así que el conjunto completo de raíces de cubo de 1 son:

disp(roots')
   1.0000 + 0.0000i   -0.5000 - 0.8660i   -0.5000 + 0.8660i 

Visualización de raíces en el plano complejo

Include plots in the Live Editor so students can visualize important concepts.

Podemos visualizar las raíces en el plano complejo para ver su ubicación.

range = 0:0.01:2*pi;                               plot(cos(range),sin(range),'k')                % Plot the unit circle                  axis square; box off ax = gca; ax.XAxisLocation = 'origin'; ax.YAxisLocation = 'origin'; hold on plot(real(roots), imag(roots), 'ro')           % Plot the roots

Encontrar raíces de orden superior

To add supporting information, go to the Live Editor tab and click the Hyperlink and Image buttons. Students can use supporting information to explore lecture topics outside of the classroom.

Una vez que se pasa

<math display="block">
<mrow>
<mi>n</mi>
<mo>=</mo>
<mn>3</mn>
</mrow>
</math>
, las cosas se complican aún más. Para la 4ª raíz podríamos utilizar la fórmula quartic descubierta por Lodovico Ferrari en 1540. Pero esta fórmula es larga y difícil de manejar, y no nos ayuda a encontrar raíces superiores a 4. Afortunadamente, hay una mejor manera, gracias a un matemático francés del siglo 17 llamado Abraham de Moivre.

nació en Vitry en Champagne el 26 de mayo de 1667.Abraham de Moivre Fue un contemporáneo y amigo de Isaac Newton, Edmund Halley y James Stirling.https://en.wikipedia.org/wiki/Abraham_de_Moivre

Él es mejor conocido por eso vincula números complejos y trigonometría, y por su trabajo en la distribución normal y la teoría de la probabilidad.Teorema de de Moivre De Moivre escribió un libro sobre la teoría de la probabilidad, The Doctrine of Chances, se dice que han sido apreciados por los apostadores. De Moivre descubrió por primera vez, la expresión de forma cerrada para los números de Fibonacci que une la potencia de la relación de oro al número de Fibonacci TH.La fórmula de Binetnφn También fue el primero en postularse, una piedra angular de la teoría de la probabilidad.Teorema de límite central

el teorema de de Moivre establece que para cualquier número real y cualquier enteroxn,

<math display="block">
<mrow>
<msup>
<mrow>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mi mathvariant="normal">cos</mi>
<mtext></mtext>
<mi mathvariant="italic">x</mi>
<mo>+</mo>
<mi mathvariant="italic">i</mi>
<mtext></mtext>
<mi mathvariant="normal">sin</mi>
<mtext></mtext>
<mi mathvariant="italic">x</mi>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
<mrow>
<mi mathvariant="italic">n</mi>
</mrow>
</msup>
<mo>=</mo>
<mi mathvariant="normal">cos</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mi mathvariant="normal">nx</mi>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<mi mathvariant="italic">i</mi>
<mtext></mtext>
<mi mathvariant="normal">sin</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mi mathvariant="normal">nx</mi>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>.</mo>
</mrow>
</math>

¿Cómo nos ayuda eso a resolver nuestro problema? También sabemos que para cualquier enterok,

<math display="block">
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>=</mo>
<mi mathvariant="normal">cos</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi mathvariant="italic">k</mi>
<mi>π</mi>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<mi mathvariant="italic">i</mi>
<mtext></mtext>
<mi mathvariant="normal">sin</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi mathvariant="italic">k</mi>
<mi>π</mi>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>.</mo>
</mrow>
</math>

Así que por el teorema de de Moivre tenemos

<math display="block">
<mrow>
<msup>
<mrow>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mrow>
<mrow>
<mrow>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mo>/</mo>
<mrow>
<mi mathvariant="italic">n</mi>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
</msup>
<mo>=</mo>
<mtext></mtext>
<msup>
<mrow>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mi mathvariant="normal">cos</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi mathvariant="italic">k</mi>
<mi>π</mi>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<mi mathvariant="italic">i</mi>
<mtext></mtext>
<mi mathvariant="normal">sin</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi mathvariant="italic">k</mi>
<mi>π</mi>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
<mrow>
<mrow>
<mrow>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mo>/</mo>
<mrow>
<mi mathvariant="italic">n</mi>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
</msup>
<mo>=</mo>
<mi mathvariant="normal">cos</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mfrac>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi mathvariant="italic">k</mi>
<mi>π</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi mathvariant="italic">n</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<mi mathvariant="italic">i</mi>
<mtext></mtext>
<mi mathvariant="normal">sin</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mfrac>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi mathvariant="italic">k</mi>
<mi>π</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi mathvariant="italic">n</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>.</mo>
</mrow>
</math>

Calculando las raíces TH de 1n

Use the Live Editor to experiment with MATLAB code interactively. Add controls to show students how important parameters affect the analysis. To add controls, go to the Live Editor tab, click the Controls button, and select from the available options.

Podemos utilizar esta última ecuación para encontrar las raíces TH de 1.n Por ejemplo, para cualquier valor de n, podemos usar la fórmula anterior con valores de

<math display="inline">
<mrow>
<mi mathvariant="italic">k</mi>
<mo>=</mo>
<mn>0</mn>
<mo></mo>
<mi mathvariant="italic">n</mi>
<mo></mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</math>
. Podemos utilizar este código de MATLAB para experimentar con diferentes valores den:

n = 6; roots = zeros(1, n); for k = 0:n-1     roots(k+1) = cos(2*k*pi/n) + 1i*sin(2*k*pi/n);    % Calculate the roots end disp(roots')
   1.0000 + 0.0000i    0.5000 - 0.8660i   -0.5000 - 0.8660i   -1.0000 - 0.0000i   -0.5000 + 0.8660i    0.5000 + 0.8660i 

Trazar las raíces en el plano complejo muestra que las raíces están igualmente espaciadas alrededor del círculo de la unidad a intervalos de

<math display="inline">
<mrow>
<mrow>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi>π</mi>
</mrow>
<mo>/</mo>
<mrow>
<mi mathvariant="italic">n</mi>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
</math>
.

cla plot(cos(range),sin(range),'k')                   % Plot the unit circle hold on plot(real(roots),imag(roots),'ro')              % Plot the roots

Encontrar las raíces de-1, i, y-in

Use additional examples to reinforce important concepts. Modify code during the lecture to answer questions or explore ideas in more depth.

Podemos encontrar las raíces de-1, i, y-i simplemente mediante el uso de extensiones del enfoque descrito anteriormente. Si miramos el círculo unitario vemos que los valores de 1, i,-1,-i aparecen en ángulos

<math display="inline">
<mrow>
<mn>0</mn>
</mrow>
</math>
,
<math display="inline">
<mrow>
<mrow>
<mrow>
<mi>π</mi>
</mrow>
<mo>/</mo>
<mrow>
<mn>2</mn>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
</math>
,
<math display="inline">
<mrow>
<mi>π</mi>
</mrow>
</math>
Y
<math display="inline">
<mrow>
<mrow>
<mrow>
<mn>3</mn>
<mi>π</mi>
</mrow>
<mo>/</mo>
<mrow>
<mn>2</mn>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
</math>
Respectivamente.

r = ones(1,4); theta = [0 pi/2 pi 3*pi/2]; [x,y] = pol2cart(theta,r); cla plot(cos(range),sin(range),'k')           % Plot the unit circle hold on plot(x, y, 'ro')                          % Plot the values of 1, i, -1, and -i text(x(1)+0.05,y(1),'1')                  % Add text labels text(x(2),y(2)+0.1,'i') text(x(3)-0.1,y(3),'-1') text(x(4)-0.02,y(4)-0.1,'-i')

Sabiendo esto, podemos escribir la siguiente expresión parai:

<math display="block">
<mrow>
<mi mathvariant="italic">i</mi>
<mo>=</mo>
<mi mathvariant="normal">cos</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi mathvariant="italic">k</mi>
<mo>+</mo>
<mrow>
<mrow>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mo>/</mo>
<mrow>
<mn>2</mn>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mi>π</mi>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<mi mathvariant="italic">i</mi>
<mtext></mtext>
<mi mathvariant="normal">sin</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi mathvariant="italic">k</mi>
<mo>+</mo>
<mrow>
<mrow>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mo>/</mo>
<mrow>
<mn>2</mn>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mi>π</mi>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo stretchy="false">.</mo>
</mrow>
</math>

Tomando la raíz TH de ambos lados dan

<math display="block">
<mrow>
<msup>
<mrow>
<mi mathvariant="italic">i</mi>
</mrow>
<mrow>
<mrow>
<mrow>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mo>/</mo>
<mrow>
<mi mathvariant="italic">n</mi>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
</msup>
<mo>=</mo>
<msup>
<mrow>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mi mathvariant="normal">cos</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi mathvariant="italic">k</mi>
<mo>+</mo>
<mrow>
<mrow>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mo>/</mo>
<mrow>
<mn>2</mn>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mi>π</mi>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<mi mathvariant="italic">i</mi>
<mtext></mtext>
<mi mathvariant="normal">sin</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi mathvariant="italic">k</mi>
<mo>+</mo>
<mrow>
<mrow>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mo>/</mo>
<mrow>
<mn>2</mn>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mi>π</mi>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
<mrow>
<mrow>
<mrow>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mo>/</mo>
<mrow>
<mi mathvariant="italic">n</mi>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
</msup>
</mrow>
</math>

y por el teorema de de Moivre se obtiene

<math display="block">
<mrow>
<msup>
<mrow>
<mi mathvariant="italic">i</mi>
</mrow>
<mrow>
<mrow>
<mrow>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mo>/</mo>
<mrow>
<mi mathvariant="italic">n</mi>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
</msup>
<mo>=</mo>
<msup>
<mrow>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mi mathvariant="normal">cos</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi mathvariant="italic">k</mi>
<mo>+</mo>
<mrow>
<mrow>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mo>/</mo>
<mrow>
<mn>2</mn>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mi>π</mi>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<mi mathvariant="italic">i</mi>
<mtext></mtext>
<mi mathvariant="normal">sin</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi mathvariant="italic">k</mi>
<mo>+</mo>
<mrow>
<mrow>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mo>/</mo>
<mrow>
<mn>2</mn>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mi>π</mi>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
<mrow>
<mrow>
<mrow>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mo>/</mo>
<mrow>
<mi mathvariant="italic">n</mi>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
</msup>
<mo>=</mo>
<mi mathvariant="normal">cos</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mfrac>
<mrow>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi mathvariant="italic">k</mi>
<mo>+</mo>
<mrow>
<mrow>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mo>/</mo>
<mrow>
<mn>2</mn>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mi>π</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi mathvariant="italic">n</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<mi mathvariant="italic">i</mi>
<mtext></mtext>
<mi mathvariant="normal">sin</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mfrac>
<mrow>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi mathvariant="italic">k</mi>
<mo>+</mo>
<mrow>
<mrow>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mo>/</mo>
<mrow>
<mn>2</mn>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mi>π</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi mathvariant="italic">n</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>.</mo>
</mrow>
</math>

Tarea

Use live scripts as the basis for assignments. Give students the live script used in the lecture and have them complete exercises that test their understanding of the material.

Utilice las técnicas descritas arriba para completar los siguientes ejercicios:

Exercise 1: Escriba el código de MATLAB para calcular las 3 raíces de cubo de i.

% Put your code here

Exercise 2: Escriba el código de MATLAB para calcular las 5 Quintas raíces de-1.

% Put your code here

Exercise 3: Describa el enfoque matemático que usaría para calcular las raíces de un número complejo arbitrario.n Incluya las ecuaciones que usó en su enfoque.

(Describa su enfoque aquí)

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