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Resumen de la teoría de la optimización

Las técnicas de optimización se utilizan para encontrar un conjunto de parámetros de diseño, x = {x1,x2,...,xn}, que de alguna manera se puede definir como óptima. En un caso simple, esto podría ser la minimización o maximización de alguna característica del sistema que depende de. x En una formulación más avanzada, la función objetiva, (), que se minimizará o maximizará, podría estar sujeta a restricciones en forma de restricciones de igualdad,fx Gi(x) = 0 ( i = 1,...,me); restricciones de desigualdad, Gi( x) ≤ 0 (i = me + 1,...,m); y/o los límites de parámetros, xl, xu.

Una descripción del problema general (GP) se indica como

minxf(x),(1)

sujetas a

Gi(x)=0i=1,...,me,Gi(x)0i=me+1,...,m,

donde está el vector de los parámetros de diseño de longitud, () es la función objetiva, que devuelve un valor escalar, y la función vectorial () devuelve un vector de longitud que contiene los valores de las restricciones de igualdad y desigualdad evaluadas en.xnfxGxmx

Una solución eficiente y precisa a este problema depende no sólo del tamaño del problema en términos del número de restricciones y variables de diseño, sino también de las características de la función objetiva y las restricciones. Cuando tanto la función objetiva como las restricciones son funciones lineales de la variable de diseño, el problema se conoce como un Problema de programación lineal (LP). La programación cuadrática (QP) se refiere a la minimización o maximización de una función de objetivo cuadrático que está restringida linealmente. Para los problemas de LP y QP, los procedimientos de solución fiables están disponibles fácilmente. Más difícil de resolver es el Problema de programación no lineal (NP) en el que la función objetiva y las restricciones pueden ser funciones no lineales de las variables de diseño. Una solución del problema NP requiere generalmente un procedimiento iterativo para establecer una dirección de la búsqueda en cada iteración importante. Esto suele lograrse mediante la solución de un LP, un QP o un subproblema sin restricciones.

Toda la optimización tiene lugar en números reales. Sin embargo, los problemas de mínimos cuadrados sin restricciones y la resolución de ecuaciones pueden formularse y resolverse mediante funciones analíticas complejas. Ver.Números complejos en SolversOptimization Toolbox