Calcule la función de transferencia para un sistema simple de entrada múltiple/salida múltiple.
Un sistema oscilante unidimensional ideal consta de dos masas, <math display="inline"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="italic">m</mi>
</mrow> </msub> </mrow> </math> Y <math display="inline"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="italic">m</mi>
</mrow> </msub> </mrow> </math> , confinado entre dos paredes. Las unidades son tales que <math display="inline"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="italic">m</mi>
</mrow> </msub> <mo>=</mo>
<mn>1</mn>
</mrow> </math> Y <math display="inline"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="italic">m</mi>
</mrow> </msub> <mo>=</mo>
<mi>μ</mi>
</mrow> </math> . Cada masa está unida a la pared más cercana por un resorte con una constante elástica <math display="inline"><mrow><mi mathvariant="italic">k</mi>
</mrow> </math> . Un muelle idéntico conecta las dos masas. Tres amortiguadores impiden el movimiento de las masas ejerciendo sobre ellas fuerzas proporcionales a la velocidad, con amortiguación constante <math display="inline"><mrow><mi mathvariant="italic">b</mi>
</mrow> </math> . Muestra de sensores <math display="inline"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="italic">a</mi>
</mrow> </msub> </mrow> </math> Y <math display="inline"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="italic">a</mi>
</mrow> </msub> </mrow> </math> , las aceleraciones de las masas, en <math display="inline"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="italic">F</mi>
</mrow> <mrow><mi mathvariant="italic">s</mi>
</mrow> </msub> <mo>=</mo>
<mn>50</mn>
</mrow> </math> Hz.
Generar 30000 muestras de tiempo, equivalentes a 600 segundos. Definir el intervalo de muestreo <math display="inline"><mrow><mi>Δ</mi>
<mi mathvariant="italic">t</mi>
<mo>=</mo>
<mrow><mo>/</mo>
<mrow><msub><mrow><mi mathvariant="italic">F</mi>
</mrow> <mrow><mi mathvariant="italic">s</mi>
</mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mrow> </math> .
El sistema puede ser descrito por el modelo de espacio-estado
<math display="block"><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><mi>x</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>k</mi>
<mo>+</mo>
<mn>1</mn>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>A</mi>
<mi>x</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>k</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo>+</mo>
<mi>B</mi>
<mi>u</mi>
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<mi>k</mi>
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<mo>,</mo>
</mrow> </mtd> </mtr> <mtr><mtd><mrow><mi>y</mi>
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<mi>k</mi>
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<mo>=</mo>
<mi>C</mi>
<mi>x</mi>
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<mi>k</mi>
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<mo>+</mo>
<mi>D</mi>
<mi>u</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>k</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo>,</mo>
</mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </math> Dónde <math display="block"><mrow><mi>x</mi>
<mo>=</mo>
<msup><mrow><mo>[</mo>
<mo>]</mo>
</mrow> </msup> </mrow> </math> es el vector de estado, <math display="block"></math> Y <math display="block"></math> son respectivamente la ubicación y la velocidad de la <math display="block"></math> miel, <math display="block"><mrow><mi>u</mi>
<mo>=</mo>
<msup><mrow><mo>[</mo>
<mo>]</mo>
</mrow> </msup> </mrow> </math> es el vector de las fuerzas motrices de entrada, y <math display="block"><mrow><mi>y</mi>
<mo>=</mo>
<msup><mrow><mo>[</mo>
<mo>]</mo>
</mrow> </msup> </mrow> </math> es el vector de salida. Las matrices de espacio-estado son
<math display="block"><mrow><mi>A</mi>
<mo>=</mo>
<mi mathvariant="normal">exp</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>Δ</mi>
<mi>t</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo>,</mo>
<mspace width="1em"></mspace>
<mi>B</mi>
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<mn>1</mn>
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<mi>A</mi>
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<mn>2</mn>
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<mi>μ</mi>
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<mspace width="1em"></mspace>
<mi>D</mi>
<mo>=</mo>
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<mo>/</mo>
<mi>μ</mi>
</mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo>
</mrow> <mo>,</mo>
</mrow> </math> <math display="inline"><mrow><mi mathvariant="italic">I</mi>
</mrow> </math> es el <math display="inline"><mrow><mn>4</mn>
<mo stretchy="false">×</mo>
<mn>4</mn>
</mrow> </math> identidad, y las matrices de espacio de estado de tiempo continuo son
<math display="block"><mrow><mo>=</mo>
<mrow><mo>[</mo>
<mtable><mtr><mtd><mrow><mo>-</mo>
<mn>2</mn>
<mi>k</mi>
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<mn>2</mn>
<mi>b</mi>
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<mo>/</mo>
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<mi>μ</mi>
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<mn>2</mn>
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<mo>/</mo>
<mi>μ</mi>
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<mn>2</mn>
<mi>b</mi>
<mo>/</mo>
<mi>μ</mi>
</mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo>
</mrow> <mo>,</mo>
<mspace width="1em"></mspace>
<mo>=</mo>
<mrow><mo>[</mo>
<mtable><mtr><mtd><mrow><mn>1</mn>
<mo>/</mo>
<mi>μ</mi>
</mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo>
</mrow> <mo>.</mo>
</mrow> </math> Establecer <math display="inline"><mrow><mi mathvariant="italic">k</mi>
<mo>=</mo>
<mn>400</mn>
</mrow> </math> , <math display="inline"><mrow><mi mathvariant="italic">b</mi>
<mo stretchy="false">=</mo>
<mn>0</mn>
</mrow> </math> Y <math display="inline"><mrow><mi>μ</mi>
<mo>=</mo>
</mrow> </math> .
Las masas son impulsadas por la entrada aleatoria a lo largo de la medición. Utilice el modelo de espacio de estado para calcular la evolución temporal del sistema a partir de un estado inicial de cero.
Utilice los datos de entrada y salida para estimar la función de transferencia del sistema en función de la frecuencia. Especifique la opción para producir las cuatro funciones de transferencia.'mimo'
Utilice una ventana Hann de 5000 muestras para dividir las señales en segmentos. Especifique 2500 muestras de superposición entre segmentos adyacentes y <math display="inline"></math> Puntos DFT. Traza las estimaciones.
Calcular la función de transferencia teórica como la transformación Z de la función de transferencia de dominio de tiempo, evaluada en el círculo de unidad.
Trazar las funciones de transferencia teórica y sus estimaciones correspondientes.
Las funciones de transferencia tienen máximas en los valores esperados, <math display="inline"><mrow><mrow><mrow><msub><mrow><mn>1</mn>
<mo>,</mo>
<mn>2</mn>
</mrow> </msub> </mrow> <mo>/</mo>
<mrow><mn>2</mn>
<mi>π</mi>
</mrow> </mrow> </mrow> </math> , donde el <math display="inline"></math> son los valores propios de la matriz modal.
Añadir amortiguación al sistema mediante la configuración <math display="inline"><mrow><mi mathvariant="italic">b</mi>
<mo>=</mo>
<mn>0</mn>
<mo>.</mo>
<mn>1</mn>
</mrow> </math> . Calcular la evolución del tiempo del sistema amortiguado con las mismas fuerzas motrices. Calcular el <math display="inline"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="italic">H</mi>
</mrow> </msub> </mrow> </math> estimación de la función de transferencia MIMO utilizando la misma ventana y superposición. Trazar las estimaciones utilizando la funcionalidad.tfestimate
Compare las estimaciones con las predicciones teóricas.
[b1,a1] = ss2tf(A,B,C,D,1); [b2,a2] = ss2tf(A,B,C,D,2); frf(1,:,1) = polyval(b1(1,:),z)./polyval(a1,z); frf(1,:,2) = polyval(b1(2,:),z)./polyval(a1,z); frf(2,:,1) = polyval(b2(1,:),z)./polyval(a2,z); frf(2,:,2) = polyval(b2(2,:),z)./polyval(a2,z); plot(fz*Fs,20*log10(abs(reshape(permute(frf,[2 1 3]),[nfs/2 4])))) legend('I1, O1','I1, O2','I2, O1','I2, O2') ylim(yl) grid