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Reinterpretación de la historia de la geometría con procesamiento de imágenes y arte antiguo
Ingenieros demuestran que el uso de curvas complejas se remonta a la Edad del Bronce
Las excavaciones arqueológicas pueden revelar mucho sobre las civilizaciones antiguas. Si bien pueden descubrir lo que las civilizaciones construyeron, esculpieron o pintaron, estos hallazgos no revelan necesariamente cómo lo hicieron. Un equipo de investigación de la Universidad Técnica Nacional de Atenas (NTUA) ha desafiado esta idea.
Dirigido por el profesor Constantin Papaodysseus de la NTUA, el equipo de ingenieros ha desarrollado técnicas de procesamiento y segmentación de imágenes para desentrañar la historia detrás de los detallados frescos de la civilización minoica. A lo largo de los 20 años de historia del proyecto, también han reinterpretado, en paralelo, la historia de la geometría. Han ampliado la cronología histórica de este campo a más de mil años y atribuido el uso de formas y curvas complejas a los artistas de la Edad del Bronce.
Historia del análisis histórico
Papaodysseus tiene experiencia en usar informática y MATLAB® para resolver problemas arqueológicos. En un primer momento, Papaodysseus colaboró con el distinguido arqueólogo profesor Steven Tracy, entonces director de la Escuela Americana de Estudios Clásicos de Atenas, para clasificar las inscripciones según su inscriptor, es decir, el escritor que talló una inscripción. Esta clasificación es de fundamental importancia para la historia, dado que un inscriptor no fechaba ni firmaba su obra, lo que hacía prácticamente imposible la clasificación temporal de una inscripción. Sin embargo, cuando se reúne toda la obra de un inscriptor, por regla general, un examen minucioso de este conjunto permite obtener una fecha. Con MATLAB y matemáticas, Papaodysseus logró clasificar más de treinta inscripciones en nueve escritores, con 100% de éxito.
“Con MATLAB, podemos ayudar a los arqueólogos a recrear una historia más completa y precisa de los artefactos antiguos”.
A continuación, el Centro de Estudios Helénicos de la Universidad de Harvard pidió a Papaodysseus que ayudara a identificar si la misma mano escribió dos manuscritos separados de la Ilíada: uno conservado en el Museo de Venecia y otro conservado en el monasterio del Escorial, en las afueras de Madrid. Esto proporcionaría la fecha de los artefactos y ayudaría a rastrear sus orígenes.
“Me di cuenta de que lo podíamos hacer con matemáticas modernas, informática y MATLAB”, dice Papaodysseus. Junto con su equipo y el profesor de Estudios Clásicos Christopher Blackwell, demostraron que la misma mano había escrito ambos documentos. El parlamento griego incluso ha recurrido a sus habilidades de detección para identificar los autores de otros documentos aun no descubiertos.
“Con MATLAB, podemos ayudar a los arqueólogos a recrear una historia más completa y precisa de los artefactos antiguos”, afirma Papaodysseus.
La historia de los frescos comienza al sur de Akrotiri, una ciudad en el suroeste de Santorini, una isla griega en el mar Egeo del Mediterráneo. Alrededor de 1620 AC, durante la civilización minoica, una erupción volcánica masiva enterró la isla bajo capas de roca volcánica y ceniza de hasta 20 metros de espesor. Esto creó un gran tesoro de artefactos que la roca volcánica preservó durante milenios. Entre los descubrimientos excavados se encontraron restos de pinturas, murales y frescos.
A finales de la década de 1990, Papaodysseus comenzó a utilizar MATLAB para analizar frescos antiguos y desarrollar métodos para unir cientos de fragmentos de murales, como el reensamblaje en 2D y 3D. Mientras intentaba unir piezas de frescos en su computadora, observó algo inesperado en el monitor. La imagen era de una niña que había visto en otro fresco, “The Crocus Gathering”. En este fresco, la niña está inclinada hacia una planta, pero con esta última imagen de ella ahora en su pantalla, Papaodysseus notó que la curva de su espalda parecía una hipérbola.
Había un problema: las primeras descripciones de hipérbolas y otras secciones cónicas provenían de pensadores notables de la era clásica, como Menecmo y Euclides, que vivieron alrededor de 350-250 AC, más de 1300 años después de la creación del fresco. La idea era, probablemente, “una locura”, pensó Papaodysseus.
“Pero me di cuenta de que podíamos descubrir cómo el artista creó el famoso fresco”, dice Papaodysseus. Al igual que su descubrimiento con los documentos de la Ilíada, sabía que las matemáticas y MATLAB podrían ayudar.
La prueba está en la pintura
Papaodysseus quería saber más sobre la “espalda curvada como una hipérbola”. Después de su observación, Papaodysseus pasó los siguientes meses creando un método en MATLAB para probar su hipótesis. Desarrolló un algoritmo de segmentación de imágenes que podía aislar los contornos individuales de las imágenes en una cadena de píxeles individuales. Los contornos son curvas o líneas continuas y uniformes, por lo que una pintura determinada se compone de muchos contornos individuales.
“En MATLAB, es fácil trazar una hipérbola. Con dos funciones de Image Processing Toolbox, se puede superponer la hipérbola en una imagen”.
El siguiente paso fue determinar si el artista de “The Crocus Gathering” había pintado una verdadera hipérbola y, de ser así, cómo lo logró con tanta precisión. Al analizar la espalda de la niña y otros componentes del fresco, el equipo de Papaodysseus puso a prueba la idea de que los artistas de la época utilizaban plantillas para guiar sus pinceladas. Trataron de comprobar si los contornos se alineaban con ciertas formas y curvas: líneas rectas, círculos, elipses, parábolas, hipérbolas, curvas más complejas como cicloides y varias espirales.
“Hemos trabajado con formas que aparecen en la naturaleza o que sólo han sido comprendidas y estudiadas ampliamente desde la época de los grandes matemáticos de la era clásica, como Arquímedes y Euclides”, afirma Papaodysseus. “En aquel momento, no creía que los minoicos, los antepasados de Euclides y Arquímedes, hubieran entendido o trabajado con estas formas”.
Intuitivamente, la idea de que estos artistas usaran guías o plantillas para crear estas formas tenía sentido. En aquella época, los artistas que pintaban en una pared necesitaban precisión y velocidad para completar secciones sobre yeso húmedo antes de que se secara. Dados los contornos suaves y constantes de las pinturas terminadas, parece más probable que los artistas utilizaran algún tipo de guía para pintar sobre esta superficie rugosa.
Con la imagen de la espalda curvada de la niña en “The Crocus Gathering”, Papaodysseus y su equipo trazaron curvas con parámetros variables y aplicaron esquemas algorítmicos que podían identificar y comparar los contornos dibujados con las formas potenciales de la plantilla utilizando MATLAB y sus algoritmos de minimización de funciones.
“En MATLAB, es fácil trazar una hipérbola. “Con dos funciones de Image Processing Toolbox™, se puede superponer la hipérbola en una imagen”, dice Athanasios-Rafail Mamatsis, investigador del equipo de Papaodysseus.
Aplicaron estas funciones a la imagen de la niña en “The Crocus Gathering” y confirmaron que su espalda curvada se alineaba con una verdadera hipérbola y no coincidía con ninguna otra forma o plantilla (ver Figura 1). Como prueba adicional, probó este método en otra niña en el mismo fresco y encontró contornos correspondientes a la misma hipérbola (ver Figura 2).
“La guía geométrica y el dibujo real coincidían tanto que no podía ser casual”, dice Papaodysseus.
Coinciden demasiado
A medida que pasaron los años, los estudiantes de doctorado que trabajaban en el proyecto original se convirtieron en colegas. El equipo iteró y mejoró aún más los algoritmos originales de Papaodysseus para explorar nuevas ideas. “En particular, después del hallazgo de la hipérbola, no dudamos en comprobar si los minoicos habían utilizado espirales lineales en los frescos”, afirma Papaodysseus.
Otra idea que respalda aún más que los artistas de la Edad del Bronce utilizaban plantillas, es que los contornos de las pinturas suelen variar respecto de las guías generadas por computadora en menos de 0,3 milímetros, pero nunca más de 0,8 milímetros.
Su primer instinto fue probar formas espirales simples o comunes en la naturaleza. Para el análisis primero utilizó las espirales exponenciales de las conchas marinas con excelente precisión o la espiral creada al desenrollar una cuerda enrollada alrededor de una clavija. Parecía menos probable que los artistas se toparan con la espiral lineal, más difícil de construir, también conocida como espiral de Arquímedes. Sin embargo, cuando hicieron comparaciones, los remolinos que decoraban los frescos eran, de hecho, extrañas espirales (ver Figura 3).
A medida que el equipo analizaba más pinturas murales, encontraron de forma sistemática coincidencias en seis plantillas específicas (cuatro hipérbolas y dos espirales lineales) en los contornos de las imágenes. Al examinar los frescos, incluso detectaron pequeños agujeros en el yeso donde los artistas podrían haber colocado sus plantillas. Otra idea que respalda aún más que los artistas de la Edad del Bronce utilizaban plantillas, es que los contornos de las pinturas suelen variar respecto de las guías generadas por computadora en menos de 0,3 milímetros, pero nunca más de 0,8 milímetros. “Esto excluye la aleatoriedad”, dice Papaodysseus. Es poco probable que coincidencias casi idénticas sean una causalidad, especialmente con longitudes de plantillas que exceden los 14 cm, 15 cm, 17 cm, 22 cm, etc.
En un estudio de 2022 en Journal of Cultural Heritage, Papaodysseus y sus colegas destacaron que “en numerosas pinturas murales aparecen curvas preliminares grabadas en la pared en partes del fresco donde los colores se han atenuado”. Los artistas podrían haber pintado personas con una combinación de plantillas o segmentos de plantillas. En el mismo artículo, el equipo de Papaodysseus también demostró que las plantillas no coinciden con los contornos dibujados por los restauradores para rellenar las partes faltantes del fresco, lo que sugiere que los artistas de la Edad del Bronce utilizaron una técnica especializada y precisa. Además, parece que la misma técnica de utilizar las mismas plantillas para dibujar frescos se ha aplicado en la Creta minoica (véase la Figura 4).
Lecciones de geometría
Otra evidencia de que los artistas, o al menos los creadores de plantillas, tenían una comprensión geométrica avanzada proviene de las posibles formas en que crearon las plantillas de hipérbola y espiral. Consideremos una hipérbola: No se trata simplemente de una línea curva que coincide con la forma de una espalda curva. Todos los puntos de la curva tienen una diferencia constante de distancia con respecto a dos puntos fijos en el mismo plano, que ahora se denominan enfoque. Los investigadores sugieren que los artistas podrían haber construido tales curvas dibujando dos círculos de diferentes radios, cada uno con un punto central definido, de modo que los círculos se superpongan, como un diagrama de Venn asimétrico. Si se dibujan círculos concéntricos alrededor de los dos originales, y se aumenta cada vez los radios de ambos círculos por la misma cantidad, se puede dibujar una hipérbola conectando los puntos de intersección entre cada círculo correspondiente (ver Figura 5).
“No cambiaría a MATLAB por nada, aunque conozco muchos lenguajes de programación. Permite reducir la cantidad de líneas de código que se debe escribir y la claridad de los resultados es increíble”.
Para la espiral lineal, los investigadores creen que los artistas podrían haber utilizado nuevamente círculos concéntricos. El trabajo previo del equipo había demostrado que los habitantes de la Edad de Bronce de Akrotiri podían construir ángulos centrales de secuencias de polígonos regulares. Se podría dibujar una espiral lineal conectando los puntos donde las líneas rectas correspondientes de los polígonos se intersecan con círculos concéntricos (ver Figura 6).
En los más de 20 años que Papaodysseus y su equipo realizaron este trabajo, siempre utilizaron MATLAB. “No cambiaría a MATLAB por nada, aunque conozco muchos lenguajes de programación”, dice Papaodysseus. Para las tareas en las que se necesita escribir en C/C++, se puede llamar al código desde MATLAB y obtener resultados instantáneos. La misma tarea tomaría el triple de tiempo sin este paquete de MATLAB. La usabilidad, eficiencia y calidad del entorno informático son indispensables. "Permite reducir la cantidad de líneas de código que se debe escribir y la claridad de los resultados es increíble”.
Hallazgos de gran alcance
No es sólo Santorini el que tiene estos impresionantes frescos. Como se mencionó anteriormente, en el fresco de la Figura 4, que una vez decoró una pared en el Palacio de Cnosos, y ahora se encuentra en museos, un hombre monta un toro cabeza abajo mientras dos mujeres a cada lado se preparan para ayudar. Cuando el grupo de Papaodysseus analizó esta pintura de Creta, vieron que la parte posterior del toro correspondía únicamente a una hipérbola que el equipo había visto antes (en los frescos de Santorini), mientras que varias otras partes del contorno de este fresco encajaban óptimamente con partes correspondientes de hipérbolas y espirales descubiertas en Akrotiri, Thera.
Hasta ahora, los investigadores han encontrado evidencia que apoya la teoría de plantilla en más de dos docenas de frescos de diferentes islas y siglos del Egeo.
Cuanto más buscaban similitudes entre los frescos de las diferentes islas del Egeo, más se encontraban. Hasta ahora, los investigadores han encontrado evidencia que apoya la teoría de plantilla en más de dos docenas de frescos de diferentes islas y siglos del Egeo. Las diversas pinturas murales tienen años de origen muy variados, que abarcan los 550 años entre 1650 y 1100 AC.
“En Santorini, Creta, Micenas y Tebas, las pinturas murales descubiertas tienen contornos que corresponden únicamente a cuatro hipérbolas y dos espirales lineales con un error de coincidencia excepcionalmente bajo”, afirma Papaodysseus. Esto sugiere que, durante la Edad del Bronce, los artistas del Mar Egeo tenían un entrenamiento común en el uso de plantillas de formas complejas mucho antes de que los matemáticos de la era clásica las describieran.
Ahora, el grupo se ha asociado con la Universidad de Atenas para ampliar el alcance de sus técnicas y analizar más arte minoico. Con ello esperan iluminar aún más la historia de la geometría y dar crédito a los artistas pioneros.
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