Realizaciones de espacio de estados

Una realización de espacio de estados es una implementación de un determinado comportamiento de entrada-salida. Si un sistema se modela mediante una matriz de transferencia H(s), una realización es un conjunto de matrices A, B, C, D de manera que $$H\left(s\right)=C{\left(sI-A\right)}^{-1}B+D$$. En otras palabras, si el sistema tiene un vector de estado x, el comportamiento del sistema se puede describir con las siguientes ecuaciones de estado:

$$\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+Bu\\ y=Cx+Du.\end{array}$$

Hay un número infinito de realizaciones posibles de cualquier sistema. Una realización mínima es una realización en la que A tiene la menor dimensión posible. Es decir, una realización dada A, B, C, D es mínima si no hay ninguna otra realización A', B', C', D' donde A' tenga dimensiones menores que las de A.

Una transformación de estado es una rotación del vector de estado por una matriz invertible T de manera que $$\widehat{x}=Tx$$. La transformación de estado genera una representación equivalente del espacio de estados del sistema, con

$$\begin{array}{l}\widehat{A}=TA{T}^{-1}\\ \widehat{B}=TB\\ \widehat{C}=C{T}^{-1}\\ \widehat{D}=D.\end{array}$$

Algunas realizaciones mínimas conocidas como formas canónicas pueden ser útiles para algunos tipos de teoría y análisis de sistemas dinámicos. Este tema resume algunas de estas formas canónicas y las transformaciones relacionadas.

Forma modal

La forma modal es una forma diagonalizada que separa los valores propios del sistema. En una forma modal, A o (A,E) son diagonales de bloque. El tamaño del bloque normalmente es de 1 por 1 para los valores propios reales y de 2 por 2 para los valores propios complejos. Sin embargo, si hay valores propios repetidos o clusters de valores propios cercanos, el tamaño del bloque puede ser mayor.

Por ejemplo, para un sistema con valores propios $$({\lambda }_1,\sigma \pm j\omega ,{\lambda }_2)$$, la matriz modal A presenta el siguiente formato:

$$A_m=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& 0& 0\\ 0& \sigma & \omega & 0\\ 0& -\omega & \sigma & 0\\ 0& 0& 0& {\lambda }_2\end{array}\right].$$

Cómo obtener la forma modal

Para obtener la forma modal, utilice el comando modalreal, [msys,blks] = modalreal(sys).

Cuando realice la identificación del sistema con ssest (System Identification Toolbox), obtenga la forma modal estableciendo Form en modal.

Forma compañera controlable

En las realizaciones compañeras, el polinomio característico del sistema aparece explícitamente en la matriz A. Para un sistema SISO con polinomio característico

$$P(s)=s^n+{\alpha }_{n-1}{s}^{n-1}+{\alpha }_{n-2}{s}^{n-2}+\dots +{\alpha }_{1}s+{\alpha }_0,$$

la forma compañera controlable correspondiente tiene

$$A_{ccom}=\left[\begin{array}{ccc}\begin{array}{l}0\\ 1\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}& \begin{array}{l}0\\ 0\\ 1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}& \begin{array}{ccc}\begin{array}{cc}\begin{array}{l}0\\ 0\\ 0\\ 1\\ ⋮\\ 0\end{array}& \begin{array}{l}\dots \\ \dots \\ \dots \\ \dots \\ \ddots \\ \dots \end{array}\end{array}& \begin{array}{l}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 1\end{array}& \begin{array}{l}-{\alpha }_0\\ -{\alpha }_1\\ -{\alpha }_2\\ -{\alpha }_3\\ ⋮\\ -{\alpha }_{n-1}\end{array}\end{array}\end{array}\right],B_{ccom}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right].$$

Para los sistemas multientrada, A_ccom tiene la misma forma y la primera columna de B_ccom es como se muestra. Esta forma no impone una estructura particular al resto de B_ccom ni a C_ccom y D_ccom.

Cómo obtener una forma compañera controlable

El comando csys = compreal(H,"c") calcula una realización de forma compañera controlable de H utilizando la transformación de estado T = ctrb(H.A,H.B) para establecer la matriz A en forma compañera.

Cuando realice la identificación del sistema usando comandos como ssest (System Identification Toolbox) o n4sid (System Identification Toolbox), obtenga la forma compañera estableciendo Form en companion.

La transformación compañera exige que el sistema sea controlable desde la primera entrada. La transformación a la forma compañera se basa en la matriz de controlabilidad, que casi siempre es numéricamente singular para los órdenes medios. Por tanto, evite utilizarla para el cálculo siempre que sea posible.

Forma compañera observable

Se puede obtener una forma relacionada utilizando la transformación de estado de observabilidad T = obsv(H.A,H.B) en lugar de T = ctrb(H.A,H.B). Esta forma es la forma dual (traspuesta) de la forma compañera controlable, de la siguiente manera:

$$\begin{array}{l}{A}_{ocom}=A_{ccom}^T\\ B_{ocom}=C_{ccom}^T\\ C_{ocom}=B_{ccom}^T\\ D_{ocom}=D_{ccom}^T.\end{array}$$

En concreto,

$$A_{ocom}=\left[\begin{array}{ccc}\begin{array}{l}0\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ -{\alpha }_0\end{array}& \begin{array}{l}1\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ -{\alpha }_1\end{array}& \begin{array}{ccc}\begin{array}{cc}\begin{array}{l}0\\ 1\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ -{\alpha }_2\end{array}& \begin{array}{l}0\\ 0\\ 1\\ ⋮\\ 0\\ -{\alpha }_3\end{array}\end{array}& \begin{array}{l}\dots \\ \dots \\ \dots \\ \ddots \\ \dots \\ \dots \end{array}& \begin{array}{l}0\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 1\\ -{\alpha }_{n-1}\end{array}\end{array}\end{array}\right],C_{ocom}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \dots & 0\end{array}\right].$$

Esta forma se conoce en ocasiones como forma canónica de observabilidad [1], pero es diferente a la forma canónica observable.

Cómo obtener una forma compañera observable

El comando csys = compreal(H,"o") calcula una realización de forma compañera observable de H utilizando la transformación de estado T = ctrb(H.A,H.B) para establecer la matriz A en forma compañera.

Cuando realice la identificación del sistema usando comandos como ssest (System Identification Toolbox) o n4sid (System Identification Toolbox), obtenga esta forma estableciendo Form en canonical.

Forma canónica controlable

Para un sistema estrictamente propio con la función de transferencia

$$H\left(s\right)=\frac{{\beta }_{n-1}{s}^{n-1}+\dots +{\beta }_{1}s+{\beta }_0}{s^n+{\alpha }_{n-1}{s}^{n-1}+\dots +{\alpha }_{1}s+{\alpha }_0}+d_0,$$

la forma canónica controlable [2] está dada por:

$$\begin{array}{l}{A}_{cont}=\left[\begin{array}{ccc}\begin{array}{l}0\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ -{\alpha }_0\end{array}& \begin{array}{l}1\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ -{\alpha }_1\end{array}& \begin{array}{ccc}\begin{array}{cc}\begin{array}{l}0\\ 1\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ -{\alpha }_2\end{array}& \begin{array}{l}0\\ 0\\ 1\\ ⋮\\ 0\\ -{\alpha }_3\end{array}\end{array}& \begin{array}{l}\dots \\ \dots \\ \dots \\ \ddots \\ \dots \\ \dots \end{array}& \begin{array}{l}0\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 1\\ -{\alpha }_{n-1}\end{array}\end{array}\end{array}\right],B_{cont}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ \begin{array}{l}0\\ 1\end{array}\end{array}\right],\\ C_{cont}=\left[\begin{array}{cccc}{\beta }_0& {\beta }_1& \dots & {\beta }_{n-1}\end{array}\right],D_{cont}=d_0.\end{array}$$

Esta forma también se conoce como forma canónica de fase variable. En esta forma, los coeficientes del polinomio característico aparecen en la última fila de A_cont. La forma canónica controlable es una realización mínima en la que todos los estados del modelo son controlables. Al igual que la forma compañera y la forma canónica observable, puede no ser la mejor opción para el cálculo.

Cómo obtener una forma canónica controlable

No hay ningún comando de MATLAB^® para calcular directamente una forma canónica controlable. Sin embargo, si se puede obtener el sistema en la forma de función de transferencia H(s), entonces se pueden utilizar los coeficientes ɑ₀,…,ɑ_n–1, β₀,…,β_n–1 y d₀ para construir las matrices de forma canónica controlable en MATLAB. Después, cree el sistema con el comando ss.

Forma canónica observable

La forma canónica observable de un sistema es la forma dual (traspuesta) de su forma canónica controlable. En esta forma, el polinomio característico del sistema aparece explícitamente en la última columna de la matriz A. La forma canónica observable se puede obtener a partir de la forma canónica controlable de la siguiente manera:

$$\begin{array}{l}{A}_{obs}=A_{cont}^T\\ B_{obs}=C_{cont}^T\\ C_{obs}=B_{cont}^T\\ D_{obs}=D_{cont}^T.\end{array}$$

Así, para el sistema con la función de transferencia

$$H\left(s\right)=\frac{{\beta }_{n-1}{s}^{n-1}+\dots +{\beta }_{1}s+{\beta }_0}{s^n+{\alpha }_{n-1}{s}^{n-1}+\dots +{\alpha }_{1}s+{\alpha }_0}+d_0,$$

la forma canónica observable [2] está dada por:

$$\begin{array}{l}{A}_{obs}=\left[\begin{array}{ccc}\begin{array}{l}0\\ 1\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}& \begin{array}{l}0\\ 0\\ 1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}& \begin{array}{ccc}\begin{array}{cc}\begin{array}{l}0\\ 0\\ 0\\ 1\\ ⋮\\ 0\end{array}& \begin{array}{l}\dots \\ \dots \\ \dots \\ \dots \\ \ddots \\ \dots \end{array}\end{array}& \begin{array}{l}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 1\end{array}& \begin{array}{l}-{\alpha }_0\\ -{\alpha }_1\\ -{\alpha }_2\\ -{\alpha }_3\\ ⋮\\ -{\alpha }_{n-1}\end{array}\end{array}\end{array}\right],B_{obs}=\left[\begin{array}{c}{\beta }_0\\ {\beta }_1\\ {\beta }_2\\ \begin{array}{l}⋮\\ {\beta }_{n-1}\end{array}\end{array}\right],\\ C_{obs}=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& \begin{array}{cc}\dots & 0\end{array}& 1\end{array}\right],D_{obs}=d_0.\end{array}$$

Al igual que en la forma compañera, en esta forma los coeficientes del polinomio característico aparecen en la última columna de A_obs. La forma canónica observable es una realización mínima en la que todos los estados del modelo son observables.

Cómo obtener una forma canónica observable

Al igual que con la forma canónica controlable, no hay ningún comando de MATLAB para calcular directamente la forma canónica observable. Sin embargo, si se puede obtener el sistema en la forma de función de transferencia H(s), entonces se pueden utilizar los coeficientes ɑ₀,…,ɑ_n–1, β₀,…,β_n–1 y d₀ para construir las matrices de forma canónica observable en MATLAB. Después, cree el sistema con el comando ss.

Referencias

[1] Baillieul, John, "Observability Canonical Form and the Theory of Observers," lecture notes, November 15, 2012, accessed June 10, 2022, https://people.bu.edu/johnb/501Lecture19.pdf.

[2] Gillis, James T., "State Space." In Control System Fundamentals., edited by William S. Levine, 2d ed. The Electrical Engineering Handbook Series. Boca Raton: CRC Press, 2011.

Consulte también

modalreal | compreal | ss | ssest (System Identification Toolbox) | n4sid (System Identification Toolbox)

Temas relacionados

• Scaling State-Space Models