La traducción de esta página aún no se ha actualizado a la versión más reciente. Haga clic aquí para ver la última versión en inglés.

gram

Gramianos de controlabilidad y observabilidad

Sintaxis

Wc = gram(sys,'c')

Wo = gram(sys,'o')

Rc = gram(sys,'cf')

Ro = gram(sys,'of')

W = gram(___,opt)

Descripción

Use gram para construir los gramianos de controlabilidad y observabilidad. Puede utilizar gramianos para estudiar las propiedades de controlabilidad y observabilidad de los modelos de espacio de estados y para tareas de reducción de modelo [1]. Tienen mejores propiedades numéricas que las matrices de controlabilidad y observabilidad formadas por ctrb y obsv.

Wc = gram(sys,'c') calcula el gramiano de controlabilidad del modelo de espacio de estados sys.

Wo = gram(sys,'o') calcula el gramiano de observabilidad del modelo de espacio de estados sys.

Rc = gram(sys,'cf') devuelve el factor de Cholesky del gramiano de controlabilidad.

Ro = gram(sys,'of') devuelve el factor de Cholesky del gramiano de observabilidad.

W = gram(___,opt) calcula los gramianos limitados por el tiempo o la frecuencia. opt es una opción establecida que especifica intervalos de tiempo o frecuencia para el cálculo. Cree opt usando el comando gramOptions.

Ejemplos

Calcular gramianos limitados por la frecuencia

Calcule el gramiano de controlabilidad del siguiente modelo de espacio de estados. Centre el cálculo en el intervalo de frecuencia con la mayor energía.

sys = ss([-.1 -1;1 0],[1;0],[0 1],0);

El modelo contiene un pico a 1 rad/s. Utilice gramOptions para especificar un intervalo en torno a esa frecuencia.

opt = gramOptions('FreqIntervals',[0.8 1.2]);
gc = gram(sys,'c',opt)

gc = 2×2

    4.2132   -0.0000
   -0.0000    4.2433

Argumentos de entrada

sys — Modelo de espacio de estados

modelo de espacio de estados | arreglo de modelos de espacio de estados

Modelo de entrada, especificado como modelo de espacio de estados o arreglo de modelos de espacio de estados.

El modelo de entrada debe ser estable y sin ningún retardo interno. Para modelos de espacio de estados de descriptores, la matriz E debe ser no singular.

opt — Conjunto de opciones

Objeto gramOptions

Conjunto de opciones para calcular gramianos limitados por el tiempo o la frecuencia, especificado como objeto gramOptions.

Argumentos de salida

Wc, Wo — Gramiano de controlabilidad u observabilidad

matriz

Gramiano de controlabilidad u observabilidad, devuelto como matriz.

Rc, Ro — Factor de Cholesky del gramiano de controlabilidad u observabilidad

matriz

Factor de Cholesky del gramiano de controlabilidad u observabilidad, devuelto como matriz.

Los factores de Cholesky de gramianos se definen de la siguiente forma:

• Gramiano de controlabilidad: $$W_c=R_c^T{R}_c$$

• Gramiano de observabilidad: $$W_o=R_o^T{R}_o$$

Limitaciones

La matriz A debe ser estable, es decir, todos los valores propios tienen partes reales negativas en tiempo continuo y magnitud estrictamente inferior a uno en tiempo discreto.

Más acerca de

Gramianos de controlabilidad y observabilidad

A partir del modelo de espacio de estados de tiempo continuo

$$\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+Bu\\ y=Cx+Du\end{array}$$

el gramiano de controlabilidad se define por medio de

$$W_c={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{e}^{A\tau }}B{B}^T{e}^{A^T\tau }d\tau$$

El gramiano de controlabilidad es definido positivo únicamente si (A, B) es controlable.

El gramiano de observabilidad se define por medio de

$$W_o={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{e}^{A^T\tau }{C}^{T}C{e}^{A\tau }d\tau }$$

El gramiano de observabilidad es definido positivo únicamente si (A, C) es observable.

Los equivalentes de tiempo discreto de los gramianos de controlabilidad y observabilidad son:

$$\begin{array}{cc}{W}_c={\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{A}^{k}B{B}^T{(A^T)}^k,}& W_o=\end{array}{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{(A^T)}^k{C}^{T}C{A}^k}$$

Utilice gramianos limitados por el tiempo o la frecuencia para examinar la controlabilidad u observabilidad de los estados dentro de unos intervalos de tiempo o frecuencia concretos. La definición de estos gramianos se describe en [2].

Algoritmos

El gramiano de controlabilidad W_c se obtiene resolviendo la ecuación de Lyapunov de tiempo continuo

$$A{W}_c+W_c{A}^T+B{B}^T=0$$

o su equivalente de tiempo discreto

$$A{W}_c{A}^T-W_c+B{B}^T=0$$

Del mismo modo, el gramiano de observabilidad W_o resuelve la ecuación de Lyapunov

$$A^T{W}_o+W_{o}A+C^{T}C=0$$

en tiempo continuo y la ecuación de Lyapunov

$$A^T{W}_{o}A-W_o+C^{T}C=0$$

en tiempo discreto.

El cálculo de los gramianos limitados por el tiempo y la frecuencia se describe en [2].

Referencias

[1] Kailath, Thomas. Linear Systems. Prentice-Hall Information and System Science Series. Englewood Cliffs, N.J: Prentice-Hall, 1980.

[2] Gawronski, Wodek, and Jer-Nan Juang. “Model Reduction in Limited Time and Frequency Intervals.” International Journal of Systems Science 21, no. 2 (February 1990): 349–76. https://doi.org/10.1080/00207729008910366.

Historial de versiones

Introducido antes de R2006a

Consulte también

gramOptions | hsvd | balreal | lyap | dlyap