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obsv

Observabilidad del modelo de espacio de estados

Sintaxis

Ob = obsv(A,C)

Ob = obsv(sys)

Descripción

Un sistema dinámico se considera observable si todos sus estados pueden conocerse a partir de la salida del sistema. obsv calcula una matriz de observabilidad a partir de matrices de estado o un modelo de espacio de estados. Puede utilizar esta matriz para determinar la observabilidad.

Por ejemplo, considere un modelo de espacio de estados de tiempo continuo con Nx estados, Ny salidas y Nu entradas:

$$\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+Bu\\ y=Cx+Du\end{array}$$

En este caso, x, u e y representan los estados, las entradas y las salidas, respectivamente, mientras que A, B, C y D son las matrices de espacio de estados con los siguientes tamaños:

• A es una matriz de Nx por Nx de valores reales o complejos.

• B es una matriz de Nx por Nu de valores reales o complejos.

• C es una matriz de Ny por Nx de valores reales o complejos.

• D es una matriz de Ny por Nu de valores reales o complejos.

El sistema es observable si la matriz de observabilidad generada por obsv $$Ob=\left[\begin{array}{c}C\\ CA\\ \begin{array}{l}C{A}^2\\ :\end{array}\\ C{A}^{n-1}\end{array}\right]$$ tiene un rango total, es decir, el rango es igual al número de estados del modelo de espacio de estados. La matriz de observabilidad Ob tiene Nx filas y Nxy columnas. Para ver un ejemplo, consulte Observabilidad del modelo de espacio de estados SISO.

Ob = obsv(A,C) devuelve la matriz de observabilidad Ob mediante la matriz de estado A y la matriz de estado a salida C. El sistema es observable si Ob tiene un rango total, es decir, el rango de Ob es igual al número de estados.

Ob = obsv(sys) devuelve la matriz de observabilidad del modelo de espacio de estados sys. Esta sintaxis equivale a:

Ob = obsv(sys.A,sys.C);

Ejemplos

Verificar la observabilidad del sistema

Defina las matrices A y C.

A = [1  1;
     4 -2];
C = [-1 1;
     1 -1];

Calcule la matriz de observabilidad.

Ob = obsv(A,C);

Determine el número de estados no observables.

unobsv = length(A) - rank(Ob)

unobsv = 
1

El estado no observable indica que Ob no tiene un rango total 2. Por tanto, el sistema no es observable.

Observabilidad del modelo de espacio de estados SISO

Para este ejemplo, considere el siguiente modelo de espacio de estados SISO con dos estados:

$$A=\left[\begin{array}{cc}-1.5& -2\\ 1& 0\end{array}\right]B=\left[\begin{array}{c}0.5\\ 0\end{array}\right]C=\left[\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right]D=1$$

Cree el modelo de espacio de estados SISO definido por las siguientes matrices de espacio de estados:

A = [-1.5,-2;1,0];
B = [0.5;0];
C = [0,1];
D = 1;
sys = ss(A,B,C,D);

Calcule la matriz de observabilidad y encuentre el rango.

Ob = obsv(sys)

Ob = 2×2

     0     1
     1     0

El tamaño de la matriz de observabilidad depende del tamaño de las matrices A y C. Por ejemplo, si la matriz A es una matriz de Nx por Nx y la matriz C es una matriz de Nx por Ny, la matriz resultante Ob tiene Nx filas y Nxy columnas. En este caso, Nx es el número de estados y Ny es el número de salidas.

rank(Ob)

ans = 
2

Dado que el rango de la matriz de observabilidad Ob es igual al número de estados, el sistema sys es observable.

De forma alternativa, también puede usar simplemente las matrices A y C para encontrar la matriz de observabilidad.

Ob = obsv(sys.A,sys.C);
rank(Ob)

ans = 
2

Argumentos de entrada

A — Matriz de estado

Matriz de Nx por Nx

Matriz de estado, especificada como una matriz de Nx por Nx, donde Nx es el número de estados.

C — Matriz de estado a salida

Matriz de Ny por Nx

Matriz de estado a salida, especificada como una matriz de Ny por Nx, donde Nx es el número de estados y Ny es el número de salidas.

sys — Modelo de espacio de estados o arreglo de modelos

Objeto de modelo ss | Objeto de modelo genss | Objeto de modelo uss

Modelo de espacio de estados o arreglo de modelos, especificado como:

• Un objeto de modelo de espacio de estados (ss) cuando las entradas A, B, C y D son matrices numéricas o cuando se convierte desde otro tipo de objeto de modelo.

• Un objeto de modelo de espacio de estados generalizado (genss) cuando una o varias de las matrices A, B, C y D incluyen parámetros ajustables, como parámetros realp o matrices generalizadas (genmat). La función utiliza los valores actuales para parámetros ajustables.

• Un objeto de modelo de espacio de estados con incertidumbre (uss) cuando una o varias de las entradas A, B, C y D incluyen matrices con incertidumbre. La función utiliza los valores nominales para parámetros con incertidumbre. El uso de modelos con incertidumbre requiere Robust Control Toolbox™.

Argumentos de salida

Ob — Matriz de observabilidad

arreglo

Matriz de observabilidad, devuelta como un arreglo. Cuando sys es:

• Un único modelo de espacio de estados con Nx estados y Ny salidas, el arreglo resultante Ob tiene Nx filas y Nxy columnas.

• Un arreglo de modelos de espacio de estados sys(:,:,j1,...,jN), Ob es un arreglo con N+2 dimensiones, es decir, Ob(:,:,j1,...,jN).

Limitaciones

• obsv no se recomienda para el diseño de control, ya que calcular el rango de la matriz de observabilidad no se recomienda para las pruebas de observabilidad. Ob será numéricamente singular para la mayoría de los sistemas con más de unos cuantos estados. Este hecho está bien documentado en la sección III de [1].

Referencias

[1] Paige, C. C. "Properties of Numerical Algorithms Related to Computing Controllability." IEEE Transactions on Automatic Control. Vol. 26, Number 1, 1981, pp. 130-138.

Historial de versiones

Introducido antes de R2006a

Consulte también

obsvf | ctrb

Sitios web externos

• Vídeo: Un enfoque conceptual de la controlabilidad y la observabilidad