mldivide, \

Resolver sistemas de ecuaciones lineales Ax = B para x

Sintaxis

x = A\B

x = mldivide(A,B)

Descripción

x = A\B resuelve el sistema de ecuaciones lineales A*x = B. Las matrices A y B deben tener el mismo número de filas. MATLAB^® muestra un mensaje de advertencia si A se escala incorrectamente o es casi singular, pero realiza el cálculo de todas formas.

• Si A es un escalar, A\B equivale a A.\B.

• Si A es una matriz cuadrada de n por n y B es una matriz con n filas, x = A\B es una solución a la ecuación A*x = B, si existe.

• Si A es una matriz cuadrada de m por n con m ~= n, y B es una matriz con m filas, A\B devuelve una solución de mínimos cuadrados al sistema de ecuaciones A*x= B. x podría no ser la solución de norma mínima.

x = mldivide(A,B) es una forma alternativa de ejecutar x = A\B, pero se utiliza con poca frecuencia. Permite la sobrecarga de operadores para las clases.

Ejemplos

Sistema de ecuaciones

Resuelva un sistema de ecuaciones lineales sencillo, A*x = B.

A = magic(3);
B = [15; 15; 15];
x = A\B

x = 3×1

    1.0000
    1.0000
    1.0000

Sistema lineal con una matriz singular

Resuelva un sistema lineal de ecuaciones A*x = b que incluya una matriz singular, A.

A = magic(4);
b = [34; 34; 34; 34];
x = A\b

Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND =  1.306145e-17.

x = 4×1

    1.5000
    2.5000
   -0.5000
    0.5000

Cuando rcond está entre 0 y eps, MATLAB® emite una advertencia de casi singular, pero continúa con el cálculo. Cuando se trabaja con matrices mal condicionadas, puede generarse una solución no fiable, aunque el residuo (b-A*x) sea relativamente pequeño. En este ejemplo concreto, la norma del residuo es cero, y se obtiene una solución exacta, aunque rcond sea pequeño.

Cuando rcond es igual a 0, aparece la advertencia de singular.

A = [1 0; 0 0];
b = [1; 1];
x = A\b

Warning: Matrix is singular to working precision.

x = 2×1

     1
   Inf

En este caso, la división entre cero conduce a cálculos con Inf y/o NaN, lo que hace que el resultado calculado sea poco fiable.

Solución de mínimos cuadrados de un sistema subdeterminado

Resuelva un sistema de ecuaciones lineales, A*x = b.

A = [1 2 0; 0 4 3];
b = [8; 18];
x = A\b

x = 3×1

         0
    4.0000
    0.6667

Sistema lineal con una matriz dispersa

Resuelva un sistema de ecuaciones lineales sencillo utilizando matrices dispersas.

Considere la ecuación de matrices A*x = B.

A = sparse([0 2 0 1 0; 4 -1 -1 0 0; 0 0 0 3 -6; -2 0 0 0 2; 0 0 4 2 0]);
B = sparse([8; -1; -18; 8; 20]);
x = A\B

x = 5×1 sparse double column vector (5 nonzeros)
   (1,1)       1.0000
   (2,1)       2.0000
   (3,1)       3.0000
   (4,1)       4.0000
   (5,1)       5.0000

Argumentos de entrada

A, B — Operandos

vectores | matrices completas | matrices dispersas

Operandos, especificados como vectores, matrices completas o matrices dispersas. Las matrices A y B deben tener el mismo número de filas.

Si A es un escalar, se realiza la división por elementos. Los tipos de datos enteros solo son compatibles con la división por elementos. Para obtener más información, consulte ldivide.

Tipos de datos: single | double | int8 | int16 | int32 | int64 | uint8 | uint16 | uint32 | uint64 | logical | char
Soporte de números complejos: Sí

Argumentos de salida

x — Solución

vector | matriz completa | matriz dispersa

Solución, devuelta como vector, matriz completa o matriz dispersa. Si A es una matriz de m por n y B es una matriz de m por p, x es una matriz de n por p, incluido el caso en el que p==1.

Si A tiene almacenamiento completo, x también es completa. Si A es dispersa, x tiene el mismo almacenamiento que B.

Sugerencias

• Los operadores / y \ se relacionan entre ellos con la ecuación B/A = (A'\B')'.

• Si A es una matriz cuadrada, A\B es aproximadamente igual a inv(A)*B, pero MATLAB procesa A\B de forma distinta y más sólida.

• Si el rango de A es menor que el número de columnas en A, x = A\B no es necesariamente la solución con la norma mínima. Puede calcular la solución de mínimos cuadrados con la norma mínima utilizando x = lsqminnorm(A,B) o x = pinv(A)*B.

• Utilice objetos decomposition para resolver de forma eficiente un sistema lineal varias veces con lados derechos distintos. Los objetos decomposition son adecuados para resolver problemas que requieren soluciones que se repitan, puesto que no es necesario realizar varias veces la descomposición de la matriz de coeficientes.

Algoritmos

La versatilidad de mldivide para resolver sistemas lineales proviene de su habilidad para aprovechar las simetrías en el problema enviando a un solver adecuado. Este método pretende reducir el tiempo de cálculo. La primera distinción que hace la función es entre arreglos de entrada completos (también llamados "densos") y dispersos.

Algoritmo para entradas completas

El siguiente diagrama de flujo muestra la ruta del algoritmo cuando las entradas A y B son completas.

Algoritmo para entradas dispersas

Si A es completa y B es dispersa, mldivide convierte B en una matriz completa y utiliza la ruta completa del algoritmo (más arriba) para calcular una solución con almacenamiento completo. Si A es dispersa, el almacenamiento de la solución x es el mismo que el de B y mldivide sigue la ruta del algoritmo para entradas dispersas, como se muestra a continuación.

Referencias

[1] Gilbert, John R., and Tim Peierls. “Sparse Partial Pivoting in Time Proportional to Arithmetic Operations.” SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing 9, no. 5 (September 1988): 862–874. https://doi.org/10.1137/0909058.

[2] Anderson, E., ed. LAPACK Users’ Guide. 3rd ed. Software, Environments, Tools. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1999. https://doi.org/10.1137/1.9780898719604.

[3] Davis, Timothy A. "Algorithm 832: UMFPACK V4.3 – an unsymmetric-pattern multifrontal method." ACM Transactions on Mathematical Software 30, no. 2 (June 2004): 196–199. https://doi.org/10.1145/992200.992206.

[4] Duff, Iain S. “MA57---a Code for the Solution of Sparse Symmetric Definite and Indefinite Systems.” ACM Transactions on Mathematical Software 30, no. 2 (June 2004): 118–144. https://doi.org/10.1145/992200.992202.

[5] Davis, Timothy A., John R. Gilbert, Stefan I. Larimore, and Esmond G. Ng. “Algorithm 836: COLAMD, a Column Approximate Minimum Degree Ordering Algorithm.” ACM Transactions on Mathematical Software 30, no. 3 (September 2004): 377–380. https://doi.org/10.1145/1024074.1024080.

[6] Amestoy, Patrick R., Timothy A. Davis, and Iain S. Duff. “Algorithm 837: AMD, an Approximate Minimum Degree Ordering Algorithm.” ACM Transactions on Mathematical Software 30, no. 3 (September 2004): 381–388. https://doi.org/10.1145/1024074.1024081.

[7] Chen, Yanqing, Timothy A. Davis, William W. Hager, and Sivasankaran Rajamanickam. “Algorithm 887: CHOLMOD, Supernodal Sparse Cholesky Factorization and Update/Downdate.” ACM Transactions on Mathematical Software 35, no. 3 (October 2008): 1–14. https://doi.org/10.1145/1391989.1391995.

[8] Davis, Timothy A. “Algorithm 915, SuiteSparseQR: Multifrontal Multithreaded Rank-Revealing Sparse QR Factorization.” ACM Transactions on Mathematical Software 38, no. 1 (November 2011): 1–22. https://doi.org/10.1145/2049662.2049670.

Capacidades ampliadas

Arreglos altos

Realice cálculos con arreglos que tienen más filas de las que caben en la memoria.

Esta función es compatible con arreglos altos, con la siguiente limitación:

Para la sintaxis Z = X\Y, el arreglo X debe ser un escalar o una matriz alta con el mismo número de filas que Y.

Para obtener más información, consulte Arreglos altos para datos con memoria insuficiente.

Generación de código C/C++

Genere código C y C++ mediante MATLAB® Coder™.

Notas y limitaciones de uso:

• Para las entradas de matrices dispersas, el lenguaje estándar debe ser C99 o posterior.

• Para la generación de código, los operandos A y B deben ser del tipo de datos double.

Generación de código de GPU

Genere código CUDA® para GPU NVIDIA® mediante GPU Coder™.

Notas y limitaciones de uso:

• Para las entradas de matrices dispersas, el lenguaje estándar debe ser C99 o posterior.

Entorno basado en subprocesos

Ejecute código en segundo plano con MATLAB® backgroundPool o acelere código con Parallel Computing Toolbox™ ThreadPool.

Esta función es totalmente compatible con entornos basados en subprocesos. Para obtener más información, consulte Ejecutar funciones de MATLAB en entornos basados en subprocesos.

Arreglos GPU

Acelere código mediante la ejecución en una unidad de procesamiento gráfico (GPU) mediante Parallel Computing Toolbox™.

La función mldivide es compatible con entradas de arreglos de GPU con estas notas y limitaciones de uso:

• Si A es rectangular, también debe ser no disperso.

• La función mldivide de MATLAB emite una advertencia si A se escala incorrectamente, es casi singular o de rango deficiente. La mldivide de gpuArray no puede comprobar esta condición. Tome medidas para evitar esta condición.

Para obtener más información, consulte Run MATLAB Functions on a GPU (Parallel Computing Toolbox).

Arreglos distribuidos

Realice particiones de arreglos grandes por toda la memoria combinada de su cluster mediante Parallel Computing Toolbox™.

Notas y limitaciones de uso:

• La función mldivide de MATLAB emite una advertencia si A se escala incorrectamente, es casi singular o de rango deficiente. El arreglo distribuido mldivide no puede comprobar esta condición. Tome medidas para evitar esta condición.

Para obtener más información, consulte Run MATLAB Functions with Distributed Arrays (Parallel Computing Toolbox).

Historial de versiones

Introducido antes de R2006a

R2025a: Compatibilidad con la generación de código para matrices dispersas de tipo double

Las matrices dispersas de tipo double son compatibles con la generación de código.

R2024a: Rendimiento mejorado con matrices tridiagonales

La función mldivide muestra un rendimiento mejorado cuando soluciona sistemas lineales A*x = b con una matriz tridiagonal completa de coeficientes A. mldivide ahora detecta estructuras tridiagonales tanto en matrices densas como dispersas, y utiliza un solver específico para esos casos.

Anteriormente, mldivide detectaba estructuras tridiagonales únicamente en matrices dispersas, y utilizaba el solver relevante solo si más de la mitad de los valores eran distintos de cero.

Por ejemplo, este código resuelve un sistema lineal especificado para matrices tridiagonales D. El código es aproximadamente 6,5 veces más rápido que en la versión anterior.

function t = timingTest
n = 5e3;
A = randn(n);
[L,D,P] = ldl(A,"upper");
b = randn(n,1);

f = @() D\b;
t = timeit(f);
end

Los tiempos de ejecución aproximados son:

Versión R2023b: 0,13 s

Versión R2024a: 0,02 s

El código se cronometró en un sistema de prueba Windows^® 11 y procesador AMD EPYC™ 74F3 de 24 núcleos @ 3,19 GHz llamando a la función timingTest.

R2022b: Rendimiento mejorado con matrices pequeñas

La función mldivide muestra un rendimiento mejorado cuando soluciona sistemas lineales A*x = b con una matriz pequeña de coeficientes A. La mejora de rendimiento se aplica a matrices reales que sean de 16 por 16 o menores y a matrices complejas que sean de 8 por 8 o menores.

Por ejemplo, este código resuelve un sistema lineal especificado por una matriz real de 12 por 12. El código es aproximadamente 1,7 veces más rápido que en la versión anterior.

function mldividePerf
A = rand(12);
for k = 1:1e5
    x = A\A;
end
end

Los tiempos de ejecución aproximados son:

Versión R2022a: 0,72 s

R2022b: 0,42 s

El código se cronometró en un sistema de prueba de Windows 10, Intel^® Xeon^® CPU W-2133 @ 3.60 GHz utilizando la función timeit:

timeit(@mldividePerf)

R2022a: La factorización LDL ya no se utiliza para matrices completas

La factorización LDL ya no se utiliza para matrices completas que son hermíticas indefinidas. En su lugar, se utiliza la factorización LU para estas matrices.

Consulte también

mrdivide | ldivide | rdivide | inv | pinv | chol | lu | qr | ldl | linsolve | lsqminnorm | spparms | decomposition

Temas

• Operaciones con matrices y operaciones con arreglos
• Precedencia de operadores
• Sistemas de ecuaciones lineales
• Sobrecarga del operador
• Operadores y caracteres especiales de MATLAB