poly

Polinomio con raíces especificadas o polinomio característico

Sintaxis

p = poly(r)

p = poly(A)

Descripción

p = poly(r), donde r es un vector, devuelve los coeficientes del polinomio cuyas raíces son los elementos de r.

p = poly(A), donde A es una matriz de n por n, devuelve los coeficientes n+1 del polinomio característico de la matriz, det(λI – A).

Ejemplos

Polinomio característico de valores propios

Calcule los valores propios de una matriz, A.

A = [1 8 -10; -4 2 4; -5 2 8]

A = 3×3

     1     8   -10
    -4     2     4
    -5     2     8

e = eig(A)

e = 3×1 complex

  11.6219 + 0.0000i
  -0.3110 + 2.6704i
  -0.3110 - 2.6704i

Dado que los valores propios en e son las raíces del polinomio característico de A, use poly para determinar el polinomio característico de los valores en e.

p = poly(e)

p = 1×4

    1.0000  -11.0000   -0.0000  -84.0000

Polinomio característico de una matriz

Use poly para calcular el polinomio característico de una matriz, A.

A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 0]

A = 3×3

     1     2     3
     4     5     6
     7     8     0

p = poly(A)

p = 1×4

    1.0000   -6.0000  -72.0000  -27.0000

Calcule las raíces de p mediante roots. Las raíces del polinomio característico son los valores propios de la matriz A.

r = roots(p)

r = 3×1

   12.1229
   -5.7345
   -0.3884

Argumentos de entrada

r — Raíces de polinomios

vector

Raíces de polinomios, especificadas como vector.

Ejemplo: poly([2 -3])

Ejemplo: poly([2 -2 3 -3])

Ejemplo: poly(roots(k))

Ejemplo: poly(eig(A))

Tipos de datos: single | double
Soporte de números complejos: Sí

A — Matriz de entrada

matriz

Matriz de entrada.

Ejemplo: poly([0 -1; 1 0])

Tipos de datos: single | double
Soporte de números complejos: Sí

Argumentos de salida

p — Coeficientes de polinomios

vector fila

Coeficientes de polinomios, devueltos como vector fila.

• Si la entrada es una matriz cuadrada de n por n, A, p contiene los coeficientes del polinomio característico de A.

• Si la entrada es un vector de raíces, r, p contiene los coeficientes del polinomio cuyas raíces están en r.

En cada caso, los coeficientes n+1 en p describen el polinomio

$$p_1{x}^n+p_2{x}^{n-1}+\mathrm{...}+p_{n}x+p_{n+1}.$$

Sugerencias

• Para vectores, r = roots(p) y p = poly(r) son funciones inversas entre sí, hasta un error de redondeo, orden y escalado.

Algoritmos

Los algoritmos empleados para poly y roots ilustran un aspecto interesante de la aproximación moderna al cálculo de valores propios. poly(A) genera el polinomio característico de A y roots(poly(A)) busca las raíces de ese polinomio, que son los valores propios de A. Pero tanto poly como roots usan eig, que se basa en transformaciones de similitud. La aproximación clásica, que caracteriza los valores propios como raíces del polinomio característico, de hecho se ha invertido.

Si A es una matriz de n por n, poly(A) produce los coeficientes p(1) a través de p(n+1), con p(1) = 1, en

$$\det \left(\lambda I-A\right)=p_1{\lambda }^n+\dots +p_n\lambda +p_{n+1}.$$

El algoritmo es

z = eig(A);
p = zeros(n+1,1); 
p(1) = 1;
for j = 1:n
    p(2:j+1) = p(2:j+1)-z(j)*p(1:j);
end

Esta recursividad se deriva expandiendo el producto,

$$(\lambda -{\lambda }_1)(\lambda -{\lambda }_2)\dots (\lambda -{\lambda }_n).$$

Es posible demostrar que poly(A) produce los coeficientes en el polinomio característico de una matriz dentro de un error de redondeo de A. Esto es cierto incluso si los errores propios de A están mal condicionados. Los algoritmos tradicionales para obtener el polinomio característico no usan los valores propios y no tienen tales propiedades numéricas satisfactorias.

Capacidades ampliadas

Generación de código C/C++

Genere código C y C++ mediante MATLAB® Coder™.

Notas y limitaciones de uso:

• El argumento de entrada no debe contener valores Inf o NaN.

• Si la entrada a poly es compleja, la salida también lo será, incluso en los casos en que el coeficiente del polinomio solo tiene partes imaginarias de valor cero

• Si el argumento de entrada es una matriz de tamaño variable en el tiempo de generación del código, este argumento no puede ser un vector en el tiempo de ejecución. Para generar código para entradas vectoriales, especifique un vector de longitud fija en el tiempo de generación del código.

Entorno basado en subprocesos

Ejecute código en segundo plano con MATLAB® backgroundPool o acelere código con Parallel Computing Toolbox™ ThreadPool.

Esta función es totalmente compatible con entornos basados en subprocesos. Para obtener más información, consulte Ejecutar funciones de MATLAB en entornos basados en subprocesos.

Arreglos GPU

Acelere código mediante la ejecución en una unidad de procesamiento gráfico (GPU) mediante Parallel Computing Toolbox™.

La función poly es totalmente compatible con los arreglos de GPU. Para ejecutar la función en una GPU, especifique los datos de entrada como un gpuArray (Parallel Computing Toolbox). Para obtener más información, consulte Run MATLAB Functions on a GPU (Parallel Computing Toolbox).

Historial de versiones

Introducido antes de R2006a

Consulte también

roots | conv | residue | polyval | polyvalm

Temas

• Crear y evaluar polinomios