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Modelo de peligros proporcionales de Cox

Introducción

La regresión de los peligros proporcionales de Cox es un método semiparamétrico para ajustar las estimaciones de la tasa de supervivencia para cuantificar el efecto de las variables predictoras. El método representa los efectos de las variables explicativas como un multiplicador de una función de riesgo basal común,h0( ).t La función de peligro es la parte no paramétrica de la función de regresión de peligros proporcionales de Cox, mientras que el impacto de las variables predictoras es una regresión loglineal. Para una línea base con respecto a 0, este modelo corresponde a

h(Xi,t)=h0(t)exp[j=1pxijbj],

Dónde Xi=(xi1,xi2,,xip) es la variable predictora para el sujeto, (ihXi,) es la tasa de riesgo en el momento parattXiYh0() es la función de tasa de riesgo de línea base.t

Hazard ratio

El modelo de peligros proporcionales de Cox relaciona la tasa de peligro para individuos o artículos en el valorXi, a la tasa de peligro para individuos o artículos en el valor de línea de base. Se produce una estimación de la relación de riesgo:

HR(Xi)=h(Xi,t)h0(t)=exp[j=1pxijbj].

El modelo se basa en la suposición de que la función de riesgo de línea base depende del tiempo, pero las variables predictoras no lo hacen.t Esta suposición también se llama la suposición de los peligros proporcionales, que indica que la relación de riesgo no cambia con el tiempo para cualquier individuo.

La relación de riesgo representa el riesgo relativo de error instantáneo para individuos o elementos que tienen el valor de la variable predictivaXi en comparación con los que tienen los valores de línea base. Por ejemplo, si la variable predictiva es el estado de tabaquismo, donde para no fumadores es la categoría de línea base, la relación de riesgo muestra la tasa de fracaso instantáneo relativa de los fumadores en comparación con la categoría de línea base, es decir, no fumadores. Para una línea base con respecto aX* y el valor de la variable predictoraXi, la relación de riesgo es

HR(Xi)=h(Xi,t)h(X*,t)=exp[j=1p(xijxj*)bj].

Por ejemplo, si la línea de base es los valores medio de las variables predictoras (), entonces la relación de riesgo se convierte enmean(X)

HR(Xi)=h(Xi,t)h(X¯,t)=exp[j=1p(xijx¯j)bj].

Las tasas de riesgo están relacionadas con las tasas de supervivencia, de tal forma que la tasa de supervivencia en el tiempo para un individuo con el valor de la variable explicativatXi Es

SXi(t)=S0(t)HR(Xi),

DóndeS0() es la función superviviente con la función de tasa de riesgo de línea baseth0() y (tHRXi) es la relación de riesgo del valor de la variable predictoraXi en relación con el valor de línea base.

Extensión del modelo de peligros proporcionales de Cox

Cuando tiene variables que no satisfacen la suposición de riesgos proporcionales (PH), puede considerar el uso de dos extensiones del modelo de peligros proporcionales de Cox: el modelo estratificado de Cox y el modelo de Cox con variables dependientes del tiempo.

Si las variables que no satisfacen la suposición de PH son categorizable, utilice el modelo estratificado de Cox:

hs(Xi,t)=h0s(t)exp[j=1pxijbj],

donde el subíndice indica el estrato del th.ss El modelo de Cox estratificado tiene una función de tasa de riesgo de línea base diferente para cada estrato pero comparte los coeficientes. Por lo tanto, tiene la misma relación de riesgo en todos los estratos si los valores de la variable predictora son los mismos. Puede incluir variables de estratificación utilizando el par nombre-valor.coxphfit'Strata'

Si las variables que no satisfacen la suposición de PH son variables dependientes del tiempo, utilice el modelo Cox con variables dependientes del tiempo:

h(Xi,t)=h0(t)exp[j=1p1xijbj+k=1p2xik(t)ck],

Dóndexij es un elemento de un predictor independiente del tiempo yxik() es un elemento de un predictor dependiente del tiempo.t Para ver un ejemplo de cómo incluir variables dependientes del tiempo, consulte.coxphfitModelo de peligros proporcionales de Cox con covariables dependientes del tiempo

Función de probabilidad parcial

Una estimación puntual del efecto de cada variable explicativa, es decir, la relación de riesgo estimada para el efecto de cada variable explicativa es exp (), dado que todas las demás variables se mantienen constantes, donde está la estimación del coeficiente para esa variable.bb Las estimaciones de coeficiente se encuentran maximizando la función de probabilidad parcial del modelo. La función de probabilidad parcial para el modelo de regresión de peligros proporcionales se basa en el orden de eventos observado. Es el producto de la las probabilidades parcial de fallas estimadas para cada tiempo de falla. Si hay fallas en tiempos de falla distintos,nn t1<t2<<tn, entonces la probabilidad parcial es

L=HR(X1)j=1nHR(Xj)×HR(X2)j=2nHR(Xj)××HR(Xn)HR(Xn)=i=1nHR(Xi)j=inHR(Xj).

Puede volver a escribir la probabilidad parcial utilizando un conjunto de riesgosRi:

L=i=1nHR(Xi)jRiHR(Xj),

DóndeRi representa el conjunto de índices de sujetos que están en estudio, pero no experimentan el evento hasta el tiempo de falla TH.i

Puede usar una prueba de relación de probabilidad para evaluar la importancia de agregar un término o términos en un modelo. Tenga en cuenta los dos modelos donde el primer modelo tiene variables predictivas y el segundo modelo tiene + variables predictivas.ppr Luego, comparando los dos modelos, – 2 * (L1/L2) tiene una distribución de Chi-cuadrada con grados de libertad (el número de términos que se están probando).r

Función de probabilidad parcial para eventos vinculados

Cuando se han vinculado eventos, se aproxima la probabilidad parcial del modelo por el método de Breslow (predeterminado) o el método de Efron, en lugar de calcular la probabilidad parcial exacta.coxphfit Calcular la probabilidad parcial exacta requiere una gran cantidad de computación, lo que implica una permutación completa de los conjuntos de riesgos para los tiempos de eventos vinculados.

El método de aproximación más simple es el método de Breslow. Este método utiliza el mismo denominador para cada conjunto atado.

L=i=1djDiHR(Xj)kRiHR(Xk),

¿Dónde está el número de tiempos de evento distintos ydDi es el conjunto de índices de todos los sujetos cuyo tiempo de evento es igual a la hora del evento TH.i

El método de Efron es más preciso que el método de Breslow, pero simple. Este método ajusta el denominador de los eventos vinculados de la siguiente manera:

L=i=1djDiHR(Xj)kRiHR(Xk)j1dikDiHR(Xk),

Dóndedi es el número de índices enDi.

Para obtener un ejemplo, suponga que los dos primeros eventos están ligados, es decir,t1 =t2 Y t2<t3<<tn. En el método de Breslow, los denominadores de los dos primeros términos son los mismos:

L=HR(X1)j=1nHR(Xj)×HR(X2)j=1nHR(Xj)×HR(X3)j=3nHR(Xj)×HR(X4)j=4nHR(Xj)××HR(Xn)HR(Xn).

El método de Efron ajusta el denominador del segundo término:

L=HR(X1)j=1nHR(Xj)×HR(X2)0.5HR(X1)+0.5HR(X2)+j=3nHR(Xj)×HR(X3)j=3nHR(Xj)×HR(X4)j=4nHR(Xj)××HR(Xn,tn)HR(Xn,tn).

Puede especificar un método de aproximación utilizando el par nombre-valor.'Ties'coxphfit

Frecuencia o pesos de las observaciones

El modelo de peligros proporcionales de Cox puede incorporarse con la frecuencia o los pesos de las observaciones. Dejarwi ser el peso de la observación TH.i A continuación, el las probabilidades parcial del modelo Cox con pesos se convierte de la siguiente manera:

  • Probabilidad parcial con pesos

    L=i=1nHRw(Xi)jRiwjHR(Xj),

    Dónde

    HRw(Xi)=exp[j=1pwjxijbj].

  • La probabilidad parcial con pesos y el método de Breslow

    L=i=1djDiHRw(Xj)[kRiwkHR(Xk)]1dijDiwj

  • La probabilidad parcial con pesos y el método de Efron

    L=i=1djDiHRw(Xj)[kRiwkHR(Xk)j1dikDiwkHR(Xk)]1dijDiwj

Puede especificar la frecuencia o los pesos de las observaciones mediante el par nombre-valor.'Frequency'coxphfit

Referencias

[1] Cox, D. R., and D. Oakes. Analysis of Survival Data. London: Chapman & Hall, 1984.

[2] Lawless, J. F. Statistical Models and Methods for Lifetime Data. Hoboken, NJ: Wiley-Interscience, 2002.

[3] Kleinbaum, D. G., and M. Klein. Survival Analysis. Statistics for Biology and Health. 2nd edition. Springer, 2005.

[4] Klein, J. P., and M. L. Moeschberger. Survival Analysis. Statistics for Biology and Health. 2nd edition. Springer, 2003.

Consulte también

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Ejemplos relacionados

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