lqrd

Diseñe un regulador lineal cuadrático (LQ) para planta continua

Sintaxis

lqrd
[Kd,S,e] = lqrd(A,B,Q,R,Ts)
[Kd,S,e] = lqrd(A,B,Q,R,N,Ts)


Descripción

lqrd diseña un discreto regulador de feedback de estados completo que tiene características de respuesta similares a las de un regulador de feedback de estados continuo diseñado utilizando lqr. Este comando es útil para diseñar una matriz de ganancias de implementación digital después de que se haya diseñado una ganancia de feedback de estados continuo satisfactoria.

[Kd,S,e] = lqrd(A,B,Q,R,Ts) calcula la ley discreta de feedback de estados

$$u[n]=-K_{d}x[n]$$

que minimiza una función de coste discreta equivalente a la función de coste continua

$$J={\displaystyle {\int }_0^{\infty }\left(x^{T}Qx+u^{T}Ru\right)}dt$$

Las matrices A y B especifican la dinámica de la planta continua

$$\dot{x}=Ax+Bu$$

y Ts especifica el tiempo de muestreo del regulador discreto. También se devuelven la solución S de la ecuación discreta de Riccati para el problema discretizado y los valores propios discretos de lazo cerrado e = eig(Ad-Bd*Kd).

[Kd,S,e] = lqrd(A,B,Q,R,N,Ts) resuelve el problema más general con un término de acoplamiento cruzado en la función de coste.

$$J={\displaystyle {\int }_0^{\infty }\left(x^{T}Qx+u^{T}Ru+2x^{T}Nu\right)dt}$$

Limitaciones

Los datos discretizados del problema deben cumplir los requisitos para dlqr.

Algoritmos

La matriz de ganancias discreta equivalente Kd se determina mediante la discretización de la planta continua y las matrices de ponderación utilizando el tiempo de muestreo Ts y la aproximación de la retención de orden cero.

Mediante la notación

$$\begin{array}{cc}\Phi (\tau )=e^{A\tau },& A_d=\Phi (T_s)\\ \Gamma (\tau )={\displaystyle {\int }_0^{\tau }{e}^{A\eta }Bd\eta ,}& B_d=\Gamma (T_s)\end{array}$$

la planta discretizada tiene ecuaciones

$$x[n+1]=A_{d}x[n]+B_{d}u[n]$$

y las matrices de ponderación para la función de coste discreta equivalente son

$$\left[\begin{array}{cc}{Q}_d& N_d\\ N_d^T& R_d\end{array}\right]={\displaystyle {\int }_0^{T_s}\left[\begin{array}{cc}{\Phi }^T\left(\tau \right)& 0\\ {\Gamma }^T\left(\tau \right)& I\end{array}\right]}\left[\begin{array}{cc}Q& N\\ N^T& R\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\Phi \left(\tau \right)& \Gamma \left(\tau \right)\\ 0& I\end{array}\right]d\tau$$

Las integrales se calculan utilizando fórmulas exponenciales de matriz de Van Loan (consulte [2]). La planta se discretiza utilizando c2d y la matriz de ganancias se calcula a partir de los datos discretizados utilizando dlqr.

Referencias

[1] Franklin, G.F., J.D. Powell, and M.L. Workman, Digital Control of Dynamic Systems, Second Edition, Addison-Wesley, 1980, pp. 439-440.

[2] Van Loan, C.F., "Computing Integrals Involving the Matrix Exponential," IEEE^® Trans. Automatic Control, AC-23, June 1978.

Historial de versiones

Introducido antes de R2006a

Consulte también

c2d | dlqr | kalmd | lqr