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deconv

Deconvolución de mínimos cuadrados y división de polinomios

Sintaxis

[x,r] = deconv(y,h)

[x,r] = deconv(y,h,shape)

[x,r] = deconv(___,Name=Value)

Descripción

División larga de polinomios

[x,r] = deconv(y,h) deconvoluciona un vector h a partir de un vector y utilizando la división larga de polinomios, y devuelve el cociente x y el resto r de manera que y = conv(x,h) + r. Si y y h son vectores de coeficientes polinómicos, la desconvolución es equivalente a dividir el polinomio representado por y por el polinomio representado por h.

Deconvolución de mínimos cuadrados

Desde R2023b

[x,r] = deconv(y,h,shape) especifica las subsecciones de la señal convolucionada y, donde y = conv(x,h,shape) + r.

Si utiliza el método de deconvolución de mínimos cuadrados (Method="least-squares"), puede especificar shape como "full", "same" o "valid". No obstante, si utiliza el método de deconvolución de división larga predeterminado (Method="long-division"), shape debe ser "full".

[x,r] = deconv(___,Name=Value) especifica opciones utilizando uno o más argumentos nombre-valor, además de cualquiera de las combinaciones de argumentos de entrada de las sintaxis anteriores.

• Puede especificar el método de deconvolución mediante deconv(__,Method=algorithm), donde algorithm puede ser "long-division" o "least-squares".

• También puede especificar el factor de regularización de Tikhonov en la solución de mínimos cuadrados del método de deconvolución mediante deconv(__,RegularizationFactor=alpha).

Ejemplos

División polinómica

Cree dos vectores, y y h, que contengan los coeficientes de los polinomios $2{\mathit{x}}^3+7{\mathit{x}}^2+4\mathit{x}+9$ y ${\mathit{x}}^2+1$, respectivamente. Divida el primer polinomio por el segundo deconvolucionando h a partir de y. La deconvolución da como resultado los coeficientes del cociente correspondientes al polinomio $$2x+7$$ y los coeficientes del resto correspondientes a $$2x+2$$.

y = [2 7 4 9];
h = [1 0 1];
[x,r] = deconv(y,h)

x = 1×2

     2     7

r = 1×4

     0     0     2     2

Deconvolución de mínimos cuadrados de una señal totalmente convolucionada

Desde R2023b

Cree una señal x que tenga forma gaussiana. Convolucione esta señal mediante una respuesta al impulso h que consiste en ruido aleatorio.

N = 200;
n = 0.1*(1:N);

rng("default")
x = 2*exp(-0.5*((n-10)).^2);
h = 0.1*randn(1,length(x));
y = conv(x,h);

Represente la señal original, la respuesta al impulso y la señal convolucionada.

figure
tiledlayout(3,1)
nexttile
plot(n,x)
title("Original Signal")
nexttile
plot(n,h)
title("Impulse Response")
nexttile
plot(0.1*(1:length(y)),y)
title("Convolved Signal")

A continuación, busque la deconvolución de la señal y con respecto a la respuesta al impulso h mediante el método de división larga de polinomios predeterminado. Con este método, el cálculo de la deconvolución es inestable y el resultado puede aumentar rápidamente.

[x1,r1] = deconv(y,h);
x1(end)

ans = 
7.5992e+90

En su lugar, busque la deconvolución utilizando el método de mínimos cuadrados para obtener cálculos numéricamente estables.

[x2,r2] = deconv(y,h,Method="least-squares");

Represente los dos resultados de la deconvolución. Aquí, el método de mínimos cuadrados devuelve correctamente la señal original que tiene forma gaussiana.

figure
tiledlayout(2,1)
nexttile
plot(n,x1)
title("Deconvolved Signal Using ""long-division"" Method")
nexttile
plot(n,x2)
title("Deconvolved Signal Using ""least-squares"" Method")

Deconvolución de mínimos cuadrados de la parte central de una señal convolucionada

Desde R2023b

Cree dos vectores. Encuentre la parte central de la convolución de xin y h que tenga el mismo tamaño que xin. La parte central de la señal convolucionada y tiene una longitud de 7 en lugar de la longitud completa, que es length(xin)+length(h)-1 o 10.

xin = [-1 2 3 -2 0 1 2];
h = [2 4 -1 1];
y = conv(xin,h,"same")

y = 1×7

    15     5    -9     7     6     7    -1

Encuentre la deconvolución de mínimos cuadrados de la señal y con respecto a la respuesta al impulso h. Utilice la opción "same" para especificar que la señal convolucionada y es solo la parte central, donde y = conv(x,h,"same") + r. Muestre que deconv recupera la señal original en x dentro de errores de redondeo.

[x,r] = deconv(y,h,"same",Method="least-squares")

x = 1×7

   -1.0000    2.0000    3.0000   -2.0000    0.0000    1.0000    2.0000

r = 1×7
10-14 ×

         0    0.0888    0.1776         0         0         0         0

Problema de deconvolución de mínimos cuadrados con soluciones infinitas

Desde R2023b

Cree dos vectores, cada uno con dos elementos, y convoluciónelos utilizando la opción "valid". Esta opción solo devuelve las partes de la convolución que se calculan sin los bordes con relleno de ceros. En este caso, la señal convolucionada y tiene un único elemento.

xin = [-1 2];
h = [2 5];
y = conv(xin,h,"valid")

y = 
-1

Busque la deconvolución de mínimos cuadrados de la señal convolucionada y con respecto a la respuesta al impulso h. Con la opción "valid", deconv no siempre devuelve la señal original en x, pero devuelve la solución del problema de deconvolución que minimiza norm(x) en su lugar.

[x,r] = deconv(y,h,"valid",Method="least-squares")

x = 1×2

   -0.1724   -0.0690

r = 
-3.3307e-16

Para comprobar la solución, puede buscar la convolución completa de la señal calculada x con h. La parte central de esta señal convolucionada es la misma que la original y que definió el problema de deconvolución.

yfull = conv(x,h,"full")

yfull = 1×3

   -0.3448   -1.0000   -0.3448

En este problema, deconv devuelve una señal diferente a la original porque resuelve una ecuación con dos variables, que es $$-1=5\cdot x(1)+2\cdot x(2)$$. Este sistema es subdeterminado, es decir, que tiene más variables que ecuaciones. Este sistema tiene soluciones infinitas cuando se usa el método de mínimos cuadrados para minimizar la norma residual, o norm(y - conv(x,h,"valid")), a 0. Por este motivo, deconv también busca una solución que minimice norm(x).

La siguiente figura ilustra la situación de este problema subdeterminado. La línea azul representa el número infinito de soluciones de la ecuación $$x(2)=-1/2-5/2\cdot x(1)$$. El círculo naranja representa la distancia mínima desde el origen hasta la línea de las soluciones. La solución devuelta por deconv se encuentra en el punto de la tangente entre la línea y el círculo, e indica la solución que se acerca más al origen.

Especificar el factor de regularización para señales ruidosas

Desde R2023b

Cree dos señales, x y h, y convoluciónelas. Añada ruido aleatorio a la señal convolucionada en y.

N = 200;
n = 0.1*(1:N);

rng("default")
x = 2*exp(-0.8*(n - 8).^2) - 4*exp(-2*(n - 10).^2);
h = 2.*exp(-1*(n - 5).^2).*cos(4*n);
y = conv(x,h);
y = y + max(y)*0.05*randn(1,length(y));

Represente la señal original, la respuesta al impulso y la señal convolucionada.

figure
tiledlayout(3,1)
nexttile
plot(n,x)
title("Original Signal")
nexttile
plot(n,h)
title("Impulse Response")
nexttile
plot(0.1*(1:length(y)),y)
title("Convolved Signal with Added Noise")

A continuación, busque la deconvolución de la señal ruidosa y con respecto a la respuesta al impulso h mediante el método de mínimos cuadrados sin factor de regularización. De forma predeterminada, el factor de regularización es 0.

[x1,r1] = deconv(y,h,Method="least-squares");

Represente la señal original y la señal deconvolucionada. Aquí, la función deconv sin un factor de regularización no puede recuperar la señal original a partir de la señal ruidosa.

figure;
tiledlayout(3,1);
nexttile
plot(n,x)
title("Original Signal")
nexttile
plot(n,x1)
title("Deconvolved Signal Without Regularization");

En su lugar, busque la deconvolución de y con respecto a h mediante el método de mínimos cuadrados con un factor de regularización de 1. Para un problema de deconvolución mal condicionado, como uno en el que haya señales ruidosas, puede especificar un factor de regularización para que no se produzca un sobreajuste en la solución de mínimos cuadrados.

[x2,r2] = deconv(y,h,Method="least-squares",RegularizationFactor=1);

Represente esta señal deconvolucionada. Aquí, la función deconv con un factor de regularización específico recupera la señal original.

nexttile
plot(n,x2)
title("Deconvolved Signal Using Regularization")

Argumentos de entrada

y — Señal de entrada que se desea deconvolucionar

vector fila o columna

Señal de entrada que se desea deconvolucionar, especificada como vector fila o vector columna.

Tipos de datos: double | single
Soporte de números complejos: Sí

h — Respuesta al impulso o filtro utilizado en la deconvolución

vector fila o columna

Respuesta al impulso o filtro utilizado en la deconvolución, especificados como vectores fila o columna. y y h pueden tener longitudes y tipos de datos diferentes.

• Si y o h, o ambos, son de tipo single, las salidas también serán de tipo single. De lo contrario, las salidas serán de tipo double.

• Las longitudes de las entradas deben satisfacer length(h) <= length(y). Sin embargo, si length(h) > length(y), deconv devuelve las salidas como x = 0 y r = y.

Tipos de datos: double | single
Soporte de números complejos: Sí

shape — Subsección de la señal convolucionada

"full" (predeterminado) | "same" | "valid"

Desde R2023b

Subsección de la señal convolucionada, especificada como uno de estos valores:

• "full" (valor predeterminado): y contiene la convolución completa de x con h.

• "same": y contiene la parte central de la convolución que tiene el mismo tamaño que x.

• "valid": y contiene solo las partes de la convolución que se calculan sin los bordes con relleno de ceros. Con esta opción, length(y) es max(length(x)-length(h)+1,0), excepto cuando length(h) es cero. Si length(h) = 0, entonces length(y) = length(x).

Argumentos de par nombre-valor

Especifique pares opcionales de argumentos como Name1=Value1,...,NameN=ValueN, donde Name es el nombre del argumento y Value es el valor correspondiente. Los argumentos nombre-valor deben aparecer después de otros argumentos, pero el orden de los pares no importa.

Ejemplo: [x,r] = deconv(y,h,Method="least-squares",RegularizationFactor=1e-3)

Method — Método de deconvolución

"long-division" (predeterminado) | "least-squares"

Desde R2023b

Método de deconvolución, especificado como uno de estos valores:

• "long-division": deconvolución por división larga de polinomios (predeterminado).

• "least-squares": deconvolución por mínimos cuadrados, donde la señal deconvolucionada x se calcula para minimizar la norma de la señal residual (o resto) r. Es decir, x es la solución que minimiza norm(y - conv(x,h)).

RegularizationFactor — Factor de regularización de Tikhonov

0 (predeterminado) | número real

Desde R2023b

Factor de regularización de Tikhonov para la deconvolución de mínimos cuadrados, especificado como un número real. Al utilizar el método de deconvolución de mínimos cuadrados, si se especifica el factor de regularización como alpha, se devuelve un vector x que minimiza norm(r)^2 + norm(alpha*x)^2. Para problemas mal condicionados, especificar el factor de regularización da preferencia a las soluciones x con normas más pequeñas.

Si utiliza el método de deconvolución de división larga predeterminado, RegularizationFactor debe ser 0.

Tipos de datos: double | single

Argumentos de salida

x — Señal deconvolucionada o cociente de la división

vector fila o columna

Señal deconvolucionada o cociente de la división, devueltos como un vector fila o columna tal que y = conv(x,h) + r.

Tipos de datos: double | single

r — Señal residual o resto de la división

vector fila o columna

Señal residual o resto de la división, devueltos como un vector fila o columna tal que y = conv(x,h) + r.

Tipos de datos: double | single

Referencias

[1] Nagy, James G. “Fast Inverse QR Factorization for Toeplitz Matrices.” SIAM Journal on Scientific Computing 14, no. 5 (September 1993): 1174–93. https://doi.org/10.1137/0914070.

Capacidades ampliadas

Generación de código C/C++

Genere código C y C++ mediante MATLAB® Coder™.

Notas y limitaciones de uso:

• Para los argumentos de entrada y y h:

  • Debe especificar el vector de entrada como un vector de tamaño fijo o de longitud variable en el tiempo de generación del código. La primera o la segunda dimensión del vector pueden ser de tamaño variable. El resto de dimensiones debe tener un tamaño fijo de 1.

Entorno basado en subprocesos

Ejecute código en segundo plano con MATLAB® backgroundPool o acelere código con Parallel Computing Toolbox™ ThreadPool.

Esta función es totalmente compatible con entornos basados en subprocesos. Para obtener más información, consulte Ejecutar funciones de MATLAB en entornos basados en subprocesos.

Arreglos GPU

Acelere código mediante la ejecución en una unidad de procesamiento gráfico (GPU) mediante Parallel Computing Toolbox™.

La función deconv es compatible con entradas de arreglos de GPU con estas notas y limitaciones de uso:

• No se admite la especificación de la respuesta al impulso o el filtro h como un objeto gpuArray disperso.

• No se admite el método de deconvolución "least-squares".

Para obtener más información, consulte Run MATLAB Functions on a GPU (Parallel Computing Toolbox).

Arreglos distribuidos

Realice particiones de arreglos grandes por toda la memoria combinada de su cluster mediante Parallel Computing Toolbox™.

Notas y limitaciones de uso:

• No se admite el método de deconvolución "least-squares".

Para obtener más información, consulte Run MATLAB Functions with Distributed Arrays (Parallel Computing Toolbox).

Historial de versiones

Introducido antes de R2006a

R2023b: Realizar una deconvolución de mínimos cuadrados con diferentes subsecciones convolucionadas

Puede realizar una deconvolución de mínimos cuadrados especificando el argumento nombre-valor Method como "least-squares". También puede especificar subsecciones convolucionadas diferentes y el factor de regularización de Tikhonov con deconvolución de mínimos cuadrados.

En versiones anteriores, deconv podía realizar una deconvolución utilizando solo el método de división larga de polinomios. Los nuevos argumentos permiten realizar deconvoluciones de mínimos cuadrados (Method="least-squares"), que devuelven soluciones más estables en comparación con la deconvolución de división larga predeterminada (Method="long-division").

Al utilizar el método de mínimos cuadrados para deconvolucionar una señal y con respecto a una respuesta al impulso h, deconv devuelve la señal x que minimiza la norma de la señal residual (o resto) r = y - conv(x,h). Es decir, x es la solución que minimiza norm(r). También puede especificar el factor de regularización de Tikhonov alpha para devolver una solución x que minimice norm(r)^2 + norm(alpha*x)^2 para todos los problemas mal condicionados.

Consulte también

conv | residue