butter

Diseño de filtros Butterworth

Sintaxis

[b,a] = butter(n,Wn)

[b,a] = butter(n,Wn,ftype)

[z,p,k] = butter(___)

[A,B,C,D] = butter(___)

[___] = butter(___,"s")

[B,A] = butter(n,Wn,"ctf")

[___] = butter(n,Wn,ftype,"ctf")

[___,gS] = butter(___)

Descripción

[b,a] = butter(n,Wn) diseña un filtro digital Butterworth paso bajo de orden n con frecuencia de corte normalizada Wn. La función butter devuelve los coeficientes de numerador y denominador de la función de transferencia del filtro.

[b,a] = butter(n,Wn,ftype) diseña un filtro digital Butterworth paso bajo, paso alto, paso banda o eliminador de banda, dependiendo del valor de ftype y del número de elementos de Wn. Los diseños del filtro paso banda y eliminador de banda resultantes son de orden 2n.

Nota

Es posible que encuentre inestabilidades numéricas al diseñar filtros IIR con funciones de transferencia para órdenes tan bajos como 4. Consulte Funciones de transferencia y CTF para obtener más información sobre las cuestiones numéricas que afectan a la formación de la función de transferencia.

[z,p,k] = butter(___) diseña un filtro digital Butterworth y devuelve sus ceros, polos y ganancia. Esta sintaxis puede incluir cualquiera de los argumentos de entrada de las sintaxis anteriores.

[A,B,C,D] = butter(___) diseña un filtro digital Butterworth y devuelve las matrices que especifican su representación en el espacio de estados.

[___] = butter(___,"s") diseña un filtro analógico Butterworth utilizando cualquiera de los argumentos de entrada o salida de las sintaxis anteriores.

[B,A] = butter(n,Wn,"ctf") diseña un filtro digital Butterworth paso bajo utilizando Funciones de transferencia en cascada (CTF) de segundo orden. La función devuelve matrices que listan los coeficientes de polinomios de numerador y denominador de la función de transferencia del filtro, representada como una cascada de secciones de filtro. Este enfoque genera filtros IIR con una estabilidad numérica mejorada en comparación con las funciones de transferencia de una sola sección. (desde R2024b)

[___] = butter(n,Wn,ftype,"ctf") diseña un filtro digital Butterworth paso bajo, paso alto, paso banda o eliminador de banda, y devuelve la representación del filtro utilizando el formato CTF. Las secciones de diseño resultantes son de orden 2 (filtros paso bajo y paso alto) o 4 (filtros paso banda o eliminador de banda). (desde R2024b)

[___,gS] = butter(___) también devuelve la ganancia general del sistema. Es necesario especificar "ctf" para devolver gS. (desde R2024b)

Ejemplos

Función de transferencia de filtro Butterworth paso bajo

Diseñe un filtro Butterworth paso bajo de 6.º orden con una frecuencia de corte de 300 Hz, que para datos muestreados a 1000 Hz, corresponde a $$0.6\pi$$ rad/muestra. Represente sus respuestas de magnitud y fase. Utilícelo para filtrar una señal aleatoria de 1000 muestras.

fc = 300;
fs = 1000;

[b,a] = butter(6,fc/(fs/2));

freqz(b,a,[],fs)

subplot(2,1,1)
ylim([-100 20])

dataIn = randn(1000,1);
dataOut = filter(b,a,dataIn);

Filtro Butterworth eliminador de banda

Diseñe un filtro Butterworth eliminador de banda de 6.º orden con frecuencias de borde normalizadas de $$0.2\pi$$ y $$0.6\pi$$ rad/muestra. Represente sus respuestas de magnitud y fase. Utilícelo para filtrar datos aleatorios.

[b,a] = butter(3,[0.2 0.6],'stop');
freqz(b,a)

dataIn = randn(1000,1);
dataOut = filter(b,a,dataIn);

Filtro Butterworth paso alto

Diseñe un filtro Butterworth paso alto de 9.º orden. Especifique una frecuencia de corte de 300 Hz, que para datos muestreados a 1000 Hz, corresponde a $$0.6\pi$$ rad/muestra. Represente las respuestas de magnitud y fase. Convierta los ceros, los polos y la ganancia en secciones de segundo orden. Muestre la respuesta de frecuencia del filtro.

[z,p,k] = butter(9,300/500,"high");
sos = zp2sos(z,p,k);
freqz(sos)

Filtro Butterworth paso banda

Diseñe un filtro Butterworth paso banda de 20.º orden con una frecuencia de corte inferior de 500 Hz y una frecuencia de corte superior de 560 Hz. Especifique una tasa de muestreo de 1500 Hz. Utilice la representación del espacio de estados. Convierta la representación del espacio de estados en secciones de segundo orden. Visualice las respuestas en frecuencia.

fs = 1500;
[A,B,C,D] = butter(10,[500 560]/(fs/2));
sos = ss2sos(A,B,C,D);
freqz(sos,[],fs)

Diseñe un filtro idéntico utilizando designfilt. Visualice las respuestas en frecuencia.

d = designfilt("bandpassiir",FilterOrder=20, ...
    HalfPowerFrequency1=500,HalfPowerFrequency2=560, ...
    SampleRate=fs);
freqz(d,[],fs)

Comparación de filtros paso bajo IIR analógicos

Diseñe un filtro analógico Butterworth paso bajo de quinto orden con una frecuencia de corte de 2 GHz. Multiplique por $$2\pi$$ para convertir la frecuencia en radianes por segundo. Calcule la respuesta en frecuencia del filtro en 4096 puntos.

n = 5;
wc = 2*pi*2e9;
w = 2*pi*1e9*logspace(-2,1,4096)';

[zb,pb,kb] = butter(n,wc,"s");
[bb,ab] = zp2tf(zb,pb,kb);
[hb,wb] = freqs(bb,ab,w);
gdb = -diff(unwrap(angle(hb)))./diff(wb);

Diseñe un filtro Chebyshev tipo I de quinto orden con la misma frecuencia de borde y 3 dB de ondulación de la banda de paso. Calcule su respuesta en frecuencia.

[z1,p1,k1] = cheby1(n,3,wc,"s");
[b1,a1] = zp2tf(z1,p1,k1);
[h1,w1] = freqs(b1,a1,w);
gd1 = -diff(unwrap(angle(h1)))./diff(w1);

Diseñe un filtro Chebyshev tipo II de quinto orden con la misma frecuencia de borde y 30 dB de atenuación de la banda de parada. Calcule su respuesta en frecuencia.

[z2,p2,k2] = cheby2(n,30,wc,"s");
[b2,a2] = zp2tf(z2,p2,k2);
[h2,w2] = freqs(b2,a2,w);
gd2 = -diff(unwrap(angle(h2)))./diff(w2);

Diseñe un filtro elíptico de quinto orden con la misma frecuencia de borde, 3 dB de ondulación de la banda de paso y 30 dB de atenuación de la banda de parada. Calcule su respuesta en frecuencia.

[ze,pe,ke] = ellip(n,3,30,wc,"s");
[be,ae] = zp2tf(ze,pe,ke);
[he,we] = freqs(be,ae,w);
gde = -diff(unwrap(angle(he)))./diff(we);

Diseñe un filtro de Bessel de quinto orden con la misma frecuencia de borde. Calcule su respuesta en frecuencia.

[zf,pf,kf] = besself(n,wc);
[bf,af] = zp2tf(zf,pf,kf);
[hf,wf] = freqs(bf,af,w);
gdf = -diff(unwrap(angle(hf)))./diff(wf);

Represente la atenuación en decibelios. Exprese la frecuencia en gigahercios. Compare los filtros.

fGHz = [wb w1 w2 we wf]/(2e9*pi);
plot(fGHz,mag2db(abs([hb h1 h2 he hf])))
axis([0 5 -45 5])
grid on
xlabel("Frequency (GHz)")
ylabel("Attenuation (dB)")
legend(["butter" "cheby1" "cheby2" "ellip" "besself"])

Represente el retardo de grupo en las muestras. Exprese la frecuencia en gigahercios y el retardo de grupo en nanosegundos. Compare los filtros.

gdns = [gdb gd1 gd2 gde gdf]*1e9;
gdns(gdns<0) = NaN;
loglog(fGHz(2:end,:),gdns)
grid on
xlabel("Frequency (GHz)")
ylabel("Group delay (ns)")
legend(["butter" "cheby1" "cheby2" "ellip" "besself"])

Los filtros Butterworth y Chebyshev Tipo II tienen bandas de paso planas y bandas de transición anchas. Los filtros Chebyshev de tipo I y elíptico se desinflan más rápido pero tienen ondulaciones en la banda de paso. La entrada de frecuencia a la función de diseño Chebyshev Tipo II establece el comienzo de la banda de parada en lugar del final de la banda de paso. El filtro de Bessel tiene un retardo de grupo aproximadamente constante a lo largo de la banda de paso.

Filtro Butterworth paso alto en cascada

Diseñe un filtro Butterworth paso alto de noveno orden con una frecuencia de corte de 300 Hz y una tasa de muestreo de 1000 Hz. Devuelva los coeficientes del sistema de filtro como una cascada de secciones de segundo orden.

Wn = 300/(1000/2);
[B,A] = butter(9,Wn,"high","ctf")

B = 5×3

    0.2544   -0.2544         0
    0.2544   -0.5088    0.2544
    0.2544   -0.5088    0.2544
    0.2544   -0.5088    0.2544
    0.2544   -0.5088    0.2544

A = 5×3

    1.0000    0.1584         0
    1.0000    0.3264    0.0561
    1.0000    0.3575    0.1570
    1.0000    0.4189    0.3554
    1.0000    0.5304    0.7165

Represente la respuesta de magnitud del filtro.

filterAnalyzer(B,A)

Argumentos de entrada

n — Orden del filtro

escalar entero hasta 500

Orden del filtro, especificado como un escalar entero menor o igual a 500. En los diseños de paso banda y eliminador de banda, n representa la mitad del orden del filtro.

Tipos de datos: double

Wn — Frecuencia de corte

escalar | vector de dos elementos

Frecuencia de corte, especificada como un escalar o un vector de dos elementos. La frecuencia de corte es la frecuencia a la que la respuesta de magnitud del filtro es 1 / √2.

• Si Wn es escalar, butter diseña un filtro paso bajo o paso alto con una frecuencia de corte Wn.

  Si Wn es el vector de dos elementos [w1 w2], donde w1 < w2, entonces butter diseña un filtro paso banda o eliminador de banda con una frecuencia de corte inferior a w1 y una frecuencia de corte superior a w2.

• Para los filtros digitales, las frecuencias de corte deben estar entre 0 y 1, donde 1 corresponde a la tasa de Nyquist, la mitad de la tasa de muestreo o π rad/muestra.

  Para los filtros analógicos, las frecuencias de corte deben expresarse en radianes por segundo y pueden tomar cualquier valor positivo.

Tipos de datos: double

ftype — Tipo de filtro

"low" | "bandpass" | "high" | "stop"

Tipo de filtro, especificado como uno de los siguientes:

• "low" especifica un filtro paso bajo con frecuencia de corte Wn. "low" es el valor predeterminado para el escalar Wn.

• "high" especifica un filtro paso alto con frecuencia de corte Wn.

• "bandpass" especifica un filtro paso banda de orden 2n si Wn es un vector de dos elementos. "bandpass" es el valor por defecto cuando Wn tiene dos elementos.

• "stop" especifica un filtro eliminador de banda de orden 2n si Wn es un vector de dos elementos.

Argumentos de salida

b,a — Coeficientes de la función de transferencia

vectores fila

Coeficientes de la función de transferencia del filtro, devueltos como vectores fila. Dado el orden del filtro n, la función devuelve b y a con r muestras, donde r = n+1 para filtros paso bajo y paso alto, y r = 2*n+1 para filtros paso banda y eliminador de banda.

La función de transferencia se expresa en términos de b = [b₁ b₂ ⋯ b_r] y a = [a₁ a₂ ⋯ a_r] como uno de estos valores:

• $$H(z)=\frac{b_1+b_2{z}^{-1}+\cdots +b_r{z}^{-(r-1)}}{a_1+a_2{z}^{-1}+\cdots +a_r{z}^{-(r-1)}}$$ para filtros digitales.

• $$H(s)=\frac{b_1{s}^{r-1}+b_2{s}^{r-2}+\cdots +b_r}{a_1{s}^{r-1}+a_2{s}^{r-2}+\cdots +a_r}$$ para filtros analógicos.

Tipos de datos: double

z,p,k — Ceros, polos y ganancia

vectores columna, escalar

Ceros, polos y ganancia del filtro, devueltos como dos vectores columna y un escalar. Dado el orden del filtro n, la función devuelve z y p con r muestras, donde r = n para filtros paso bajo y paso alto, y r = 2*n para filtros paso banda y eliminador de banda.

La función de transferencia se expresa en términos de z = [z₁ z₂ ⋯ z_r], p = [p₁ p₂ ⋯ p_r] y k como uno de estos valores:

• $$H(z)=k\frac{(1-z_1{z}^{-1})(1-z_2{z}^{-1})\cdots (1-z_r{z}^{-1})}{(1-p_1{z}^{-1})(1-p_2{z}^{-1})\cdots (1-p_r{z}^{-1})}$$ para filtros digitales.

• $$H(s)=k\frac{(s-z_1)(s-z_2)\cdots (s-z_r)}{(s-p_1)(s-p_2)\cdots (s-p_r)}$$ para filtros analógicos.

Tipos de datos: double

A,B,C,D — Representación del espacio de estados

matrices

Representación de espacios de estados del filtro, devuelta como matrices. Si r = n para los diseños de paso bajo y paso alto, y r = 2n para los filtros paso banda y eliminador de banda, entonces A es r × r, B es r × 1, C es 1 × r y D es 1 × 1.

Las matrices del espacio de estados relacionan el vector de estado x, la entrada u y la salida y a través de uno de estos sistemas de ecuación.

• Para filtros digitales:

  $$\begin{array}{c}x(k+1)=\text{A}x(k)+\text{B}u(k)\\ y(k)=\text{C}x(k)+\text{D}u(k).\end{array}$$

• Para filtros analógicos:

  $$\begin{array}{l}\dot{x}=\text{A}x+\text{B}u\\ y=\text{C}x+\text{D}u.\end{array}$$

Tipos de datos: double

B,A — Coeficientes de función de transferencia en cascada (CTF)

vector fila | matriz

Desde R2024b

Coeficientes de función de transferencia en cascada (CTF), devueltos como un vector fila o matriz. B y A indican los coeficientes de numerador y denominador de la función de transferencia en cascada, respectivamente.

Los tamaños para B y A son L por (m+1) y L por (n+1), respectivamente. La función devuelve la primera columna de A como 1, de modo que A(1)=1 cuando A es un vector fila.

• L representa el número de secciones del filtro.

• m representa el orden de los numeradores del filtro.

• n representa el orden de los denominadores del filtro.

La función butter devuelve los coeficientes CTF con estas especificaciones de orden:

• m = n = 2 para filtros paso bajo y paso alto.

• m = n = 4 para filtros paso banda y eliminador de banda.

Nota

Para personalizar el cálculo de los coeficientes CTF, como establecer un orden diferente en los coeficientes CTF o personalizar el escalado de ganancia, especifique que se devuelva z,p,k y utilice zp2ctf para obtener B,A.

Para obtener más información sobre el formato de la función de transferencia en cascada y las matrices de coeficientes, consulte Devolver filtros digitales en formato CTF.

gS — Ganancia general del sistema

escalar de valor real

Desde R2024b

Ganancia general del sistema, devuelta como escalar de valor real.

• Si se especifica que se devuelva gS, la función butter normaliza los coeficientes del numerador de modo que la primera columna de B es 1 y devuelve la ganancia general del sistema en gS.

• Si no se especifica que se devuelva gS, la función butter distribuye uniformemente la ganancia del sistema por todas las secciones del sistema utilizando la función scaleFilterSections.

Más acerca de

Funciones de transferencia en cascada

La división de un filtro IIR digital en secciones en cascada mejora su estabilidad numérica y reduce su susceptibilidad a errores de cuantificación de coeficientes. La forma en cascada de una función de transferencia H(z) en términos de las funciones de transferencia L H₁(z), H₂(z), …, H_L(z) es

$$H(z)={\displaystyle \prod _{l=1}^L{H}_l(z)}=H_1(z)\times H_2(z)\times \cdots \times H_L(z).$$

Devolver filtros digitales en formato CTF

Especifique B y A para devolver los coeficientes del filtro. También puede especificar gS para devolver la ganancia general del sistema del filtro. Mediante la especificación de estos argumentos de salida, puede diseñar filtros digitales en formato CTF para análisis, visualización y filtrado de señales.

Coeficientes del filtro

Cuando se especifica que se devuelvan los coeficientes de numerador y denominador en formato CTF, las matrices de L filas B y A se devuelven como

$$B=\left[\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \cdots & b_{1,m+1}\\ b_{21}& b_{22}& \cdots & b_{2,m+1}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{L1}& b_{L2}& \cdots & b_{L,m+1}\end{array}\right],A=\left[\begin{array}{cccc}1& a_{12}& \cdots & a_{1,n+1}\\ 1& a_{22}& \cdots & a_{2,n+1}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& a_{L2}& \cdots & a_{L,n+1}\end{array}\right],$$

de modo que la función de transferencia completa del filtro es

$$H\left(z\right)=\frac{b_{11}+b_{12}{z}^{-1}+\cdots +b_{1,m+1}{z}^{-m}}{1+a_{12}{z}^{-1}+\cdots +a_{1,n+1}{z}^{-n}}\times \frac{b_{21}+b_{22}{z}^{-1}+\cdots +b_{2,m+1}{z}^{-m}}{1+a_{22}{z}^{-1}+\cdots +a_{2,n+1}{z}^{-n}}\times \cdots \times \frac{b_{L1}+b_{L2}{z}^{-1}+\cdots +b_{L,m+1}{z}^{-m}}{1+a_{L2}{z}^{-1}+\cdots +a_{L,n+1}{z}^{-n}},$$

, donde m ≥ 0 es el orden del numerador del filtro y n ≥ 0 es el orden del denominador.

Nota

• Para filtrar señales utilizando funciones de transferencia en cascada, use la función ctffilt.

• Para analizar los filtros representados como funciones de transferencia en cascada, utilice la aplicación Filter Analyzer. También puede utilizar estas funciones de Signal Processing Toolbox™ para visualizar y analizar filtros en formato CTF:

  • Respuestas en el dominio del tiempo: impzlength, impz y stepz

  • Respuestas en el dominio de la frecuencia: freqz, grpdelay, phasedelay, phasez, zerophase y zplane

  • Exploración del filtro: filtord, islinphase, ismaxphase, isminphase e isstable

Coeficientes y ganancia

Puede especificar que se devuelvan los coeficientes y la ganancia general del sistema utilizando el triplete de argumentos de salida [B,A,gS]. En este caso, los coeficientes del numerador se normalizan y devuelven las matrices de coeficientes y la ganancia como

$$B=\left[\begin{array}{cccc}1& {\beta }_{12}& \cdots & {\beta }_{1,m+1}\\ 1& {\beta }_{22}& \cdots & {\beta }_{2,m+1}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& {\beta }_{L2}& \cdots & {\beta }_{L,m+1}\end{array}\right],A=\left[\begin{array}{cccc}1& a_{12}& \cdots & a_{1,n+1}\\ 1& a_{22}& \cdots & a_{2,n+1}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& a_{L2}& \cdots & a_{L,n+1}\end{array}\right],g_{\text{S}},$$

de modo que la función de transferencia es

$$H\left(z\right)=g_{\text{S}}\left(\frac{1+{\beta }_{12}{z}^{-1}+\cdots +{\beta }_{1,m+1}{z}^{-m}}{1+a_{12}{z}^{-1}+\cdots +a_{1,n+1}{z}^{-n}}\times \frac{1+{\beta }_{22}{z}^{-1}+\cdots +{\beta }_{2,m+1}{z}^{-m}}{1+a_{22}{z}^{-1}+\cdots +a_{2,n+1}{z}^{-n}}\times \cdots \times \frac{1+{\beta }_{L2}{z}^{-1}+\cdots +{\beta }_{L,m+1}{z}^{-m}}{1+a_{L2}{z}^{-1}+\cdots +a_{L,n+1}{z}^{-n}}\right).$$

Esta función de transferencia es equivalente a la que se define en la sección Coeficientes del filtro, donde g_S = b₁₁×b₂₁×...×b_L1 y β_li = b_li/b_l1 para i = 1,2,…,m y l = 1,2,…,L.

Funciones de transferencia y CTF

Inestabilidad numérica de la sintaxis de la función de transferencia

En general, utilice funciones de transferencia en cascada (sintaxis "ctf") para diseñar filtros IIR digitales. Si diseña el filtro utilizando funciones de transferencia en cascada (cualquiera de las sintaxis [b,a]), es posible que encuentre inestabilidades numéricas. Estas inestabilidades se deben a errores de redondeo y pueden ocurrir para un orden n tan bajo como 4. Este ejemplo ilustra esta limitación.

n = 6;
Fs = 200e6;
Wn = [0.5e6 6e6]/(Fs/2);
ftype = "bandpass";

% Transfer Function (TF) design
[b,a] = butter(n,Wn,ftype);    % This is an unstable filter

% CTF design
[B,A] = butter(n,Wn,ftype,"ctf");

% Compare frequency responses
[hTF,f] = freqz(b,a,8192,Fs);
hCTF = freqz(B,A,8192,Fs);

semilogx(f/1e6,db(hTF),".-",f/1e6,db(hCTF))
grid on
legend(["TF Design" "CTF Design"])
xlabel("Frequency (MHz)")
ylabel("Magnitude (dB)")

Algoritmos

Los filtros Butterworth tienen una respuesta en magnitud que es lo más plana posible en la banda de paso y monótona en general. Esta suavidad tiene como contrapartida la disminución de la inclinación del descenso. Los filtros elípticos y de Chebyshev suelen ofrecer un descenso más pronunciado para un orden de filtro determinado.

butter utiliza un algoritmo de cinco pasos:

1. Encuentra los polos, ceros y ganancia del prototipo analógico de paso bajo utilizando la función buttap.

2. Convierte los polos, los ceros y la ganancia en forma de espacio de estado.

3. Si es necesario, utiliza una transformación del espacio de estados para convertir el filtro paso bajo en un filtro paso banda, paso alto o eliminador de banda con las restricciones de frecuencia deseadas.

4. Para el diseño de filtros digitales, utiliza bilinear para convertir el filtro analógico en un filtro digital a través de una transformación bilineal con preconfiguración de frecuencia. Un cuidadoso ajuste de la frecuencia permite que los filtros analógicos y los digitales tengan la misma magnitud de respuesta en frecuencia en Wn o en w1 y w2.

5. Convierte el filtro de espacio de estado de nuevo en su función de transferencia o en la forma de ganancia de polo cero, según sea necesario.

Referencias

[1] Lyons, Richard G. Understanding Digital Signal Processing. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 2004.

Capacidades ampliadas

Generación de código C/C++
Genere código C y C++ mediante MATLAB® Coder™.

Historial de versiones

Introducido antes de R2006a

R2024b: Diseñar filtros digitales utilizando funciones de transferencia en cascada

La función butter admite salidas en el formato de la función de transferencia en cascada (CTF).

Consulte también

Apps

• Filter Analyzer | Filter Designer

Funciones

• besself | buttap | buttord | cheby1 | cheby2 | ctffilt | designfilt | ellip | filter | freqz | maxflat | sosfilt | zp2ctf