Distribución normal multivariante

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Visión general

La distribución normal multivariante es una generalización de las dos o más variables.distribución normal univariada Es una distribución para vectores aleatorios de variables correlacionadas, donde cada elemento vectorial tiene una distribución normal univariada. En el caso más simple, no existe correlación entre las variables, y los elementos de los vectores son variables aleatorias normales univariadas independientes.

Dado que es fácil trabajar con ella, la distribución normal multivariante se utiliza a menudo como modelo para datos multivariantes.

proporciona varias funcionalidades relacionadas con la distribución normal multivariante.Statistics and Machine Learning Toolbox™

Genere números aleatorios a partir de la distribución utilizando .mvnrnd
Evalúe la función de densidad de probabilidad (pdf) en valores específicos utilizando .mvnpdf
Evalúe la función de distribución acumulativa (cdf) en valores específicos utilizando .mvncdf

Parámetros

La distribución normal multivariante utiliza los parámetros de esta tabla.

Parámetro	Descripción	Análogo normal univariado
μ	Vector medio	Media (escalar)μ
Σ	Matriz de covarianza — Los elementos diagonales contienen las varianzas para cada variable, y los elementos fuera de diagonal contienen las covarianzas entre las variables	Varianzaσ² (escalar)

Tenga en cuenta que en el caso unidimensional, es la varianza, no la desviación estándar.Σ Para obtener más información sobre los parámetros de la distribución normal univariada, véase .Parámetros

Función de densidad de probabilidad

La función de densidad de probabilidad (pdf) de la distribución normal multivariante -dimensional esd

$y = f (x, μ, Σ) = \frac{1}{\sqrt{| Σ | {(2 π)}^{d}}} \exp (- \frac{1}{2} (x - μ) Σ^{-1} (x - μ)')$

donde y son vectores 1 por y es una matriz definida positiva -por- simétrica.xμdΣdd

Tenga en cuenta que:Statistics and Machine Learning Toolbox

Admite singular espara la generación de vectores aleatorios solamente.Σ El pdf no se puede escribir en la misma forma cuando es singular.Σ
Utiliza y orienta como vectores de fila en lugar de vectores de columna.xμ

Para obtener un ejemplo, consulte .Distribución normal bivariante pdf

Función de distribución acumulativa

La función de distribución acumulativa normal multivariante (cdf) evaluada en se define como la probabilidad de que un vector aleatorio, distribuido como normal multivariante, se encuentra dentro del rectángulo semiinfinito con los límites superiores definidos por ,xvx

$\Pr {v (1) \leq x (1), v (2) \leq x (2), ..., v (d) \leq x (d)} .$

Aunque el cdf normal multivariante no tiene ninguna forma cerrada, puede calcular los valores de cdf numéricamente.mvncdf

Para obtener un ejemplo, consulte .Distribución normal bivariante cdf

Ejemplos

Distribución normal bivariante pdf

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Calcular y trazar el pdf de una distribución normal bivariada con parámetros y .mu = [0 0]sigma = [0.25 0.3; 0.3 1]

Defina los parámetros y .musigma

mu = [0 0]; sigma = [0.25 0.3; 0.3 1];

Cree una cuadrícula de puntos espaciados uniformemente en el espacio bidimensional.

x1 = -3:0.2:3; x2 = -3:0.2:3; [X1,X2] = meshgrid(x1,x2); X = [X1(:) X2(:)];

Evalúe el pdf de la distribución normal en los puntos de cuadrícula.

y = mvnpdf(X,mu,sigma); y = reshape(y,length(x2),length(x1));

Trazar los valores pdf.

surf(x1,x2,y) caxis([min(y(:))-0.5*range(y(:)),max(y(:))]) axis([-3 3 -3 3 0 0.4]) xlabel('x1') ylabel('x2') zlabel('Probability Density')

Distribución normal bivariante cdf

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Calcular y trazar el cdf de una distribución normal bivariada.

Defina el vector medio y la matriz de covarianza .musigma

mu = [1 -1]; sigma = [.9 .4; .4 .3];

Cree una cuadrícula de 625 puntos espaciados uniformemente en el espacio bidimensional.

[X1,X2] = meshgrid(linspace(-1,3,25)',linspace(-3,1,25)'); X = [X1(:) X2(:)];

Evalúe el cdf de la distribución normal en los puntos de cuadrícula.

p = mvncdf(X,mu,sigma);

Trazar los valores de cdf.

Z = reshape(p,25,25); surf(X1,X2,Z)

Probabilidad sobre la región rectangular

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Calcular la probabilidad sobre el cuadrado unitario de una distribución normal bivariada y crear una gráfica de contorno de los resultados.

Defina los parámetros de distribución normal bivariante y .musigma

mu = [0 0]; sigma = [0.25 0.3; 0.3 1];

Calcular la probabilidad sobre el cuadrado de la unidad.

p = mvncdf([0 0],[1 1],mu,sigma)

p = 0.2097

Para visualizar el resultado, primero cree una cuadrícula de puntos espaciados uniformemente en el espacio bidimensional.

x1 = -3:.2:3; x2 = -3:.2:3; [X1,X2] = meshgrid(x1,x2); X = [X1(:) X2(:)];

A continuación, evalúe el pdf de la distribución normal en los puntos de cuadrícula.

y = mvnpdf(X,mu,sigma); y = reshape(y,length(x2),length(x1));

Por último, cree un trazado de contorno de la distribución normal multivariante que incluya el cuadrado de la unidad.

contour(x1,x2,y,[0.0001 0.001 0.01 0.05 0.15 0.25 0.35]) xlabel('x') ylabel('y') line([0 0 1 1 0],[1 0 0 1 1],'Linestyle','--','Color','k')

Calcular una probabilidad acumulativa multivariante requiere mucho más trabajo que calcular una probabilidad univariada. De forma predeterminada, la función calcula los valores con una precisión inferior a la completa del equipo y devuelve una estimación del error como una segunda salida opcional.mvncdf Vea la estimación del error en este caso.

[p,err] = mvncdf([0 0],[1 1],mu,sigma)

p = 0.2097

err = 1.0000e-08

Referencias

[1] Kotz, S., N. Balakrishnan, and N. L. Johnson. Continuous Multivariate Distributions: Volume 1: Models and Applications. 2nd ed. New York: John Wiley & Sons, Inc., 2000.