Respuesta en frecuencia

La respuesta en frecuencia describe la respuesta en estado estacionario de un sistema a las entradas sinusoidales de frecuencias variables y permite a equipos de ingeniería de control analizar y diseñar sistemas de control en el dominio de la frecuencia.

Para comprender la relevancia del dominio de la frecuencia, consideremos una guitarra acústica. Si coloca un micrófono cerca de la caja de resonancia y puntea una cuerda (Figura 1, izquierda), la vibración de la cuerda resonará en la cavidad de la guitarra y producirá una onda de sonido que es capturada por el micrófono. Si observa la traza temporal de la señal capturada (Figura 1, derecha), notará que resulta difícil extraer información rápidamente sobre lo que está sucediendo.

Si observa la misma señal en el dominio de la frecuencia con un analizador de espectro, o bien tomando una transformada rápida de Fourier (FFT) de la señal en el dominio del tiempo, se observará un pico de amplitud en cierta frecuencia (Figura 2, izquierda). Esa frecuencia pico es el tono subyacente que forma la nota que acaba de tocar en la guitarra. Si ajusta la clavija o presiona la cuerda en el cuello de la guitarra, cambiará la precarga o la longitud efectiva de esa cuerda. Esto aumentará o disminuirá la frecuencia de resonancia de la cuerda y producirá una nota distinta (Figura 2, derecha). Este simple análisis en el dominio de la frecuencia ilustra cómo la guitarra (el sistema) responde al punteo (la entrada del sistema).

Esta analogía se puede aplicar a otros sistemas para analizar la respuesta de un sistema a entradas o estímulos del entorno. Se puede obtener información sobre la dinámica del sistema, como frecuencia de un pico de resonancia, ganancia de CC, ancho de banda, retardo de fase, y márgenes de ganancia y fase de un sistema de lazo cerrado.

Cómo obtener la respuesta en frecuencia de un sistema

El siguiente gráfico ayuda a identificar el procedimiento (en gris) a seguir para obtener la respuesta en frecuencia de un sistema con MATLAB^® y Simulink^®.

1. Si tiene una representación lineal del sistema en forma de función de transferencia o modelo en espacio de estados, puede representar la respuesta en frecuencia con uno de estos diagramas: diagrama de Bode, diagrama de Nyquist o diagrama de Nichols. El diagrama de Bode muestra la magnitud y la fase como funciones de la frecuencia de la señal de excitación (Figura 4).

Por ejemplo, dada la representación de la función de transferencia de un sistema \((H)\),

$$H(s) = {s^2+ 0,1s + 7,5\over s^4+0,12s^3+9s^2}.$$

puede representar su respuesta en frecuencia en MATLAB con los siguientes comandos:

\(H = {tf([1 \quad 0,1\quad 7,5], [1 \quad 0,12 \quad 9 \quad 0 \quad 0]});\)

\(bode(H)\)

En algunos casos, no se dispone de una representación lineal del sistema.

2. Si tiene acceso a los datos de pruebas de E/S del sistema físico, puede utilizar el modelado basado en datos con System Identification Toolbox™ para identificar la función de transferencia, las representaciones en espacio de estados y los modelos de respuesta en frecuencia del sistema.
3. Si utiliza Simulink para modelar la dinámica del sistema, puede utilizar la app Model Linearizer de Simulink Control Design™ para linealizar el modelo con el fin de crear una aproximación lineal en espacio de estados del modelo de Simulink y representar la respuesta en frecuencia.
4. En caso de que no se puedan linealizar los modelos de Simulink debido a discontinuidades, puede recurrir a la estimación de la respuesta en frecuencia para estimar directamente un modelo de respuesta en frecuencia. Para sistemas con discontinuidades derivadas de excitación periódica o autooscilación, como los modelos de electrónica de potencia, puede calcular puntos de operación periódicos en estado estacionario utilizando Simulink Control Design. La estimación de la respuesta en frecuencia puede realizarse entonces alrededor de este punto de operación periódico en estado estacionario, minimizando el tiempo de simulación requerido.

Simulink Control Design proporciona dos métodos para estimar un modelo de respuesta en frecuencia de un sistema.

Estimación de la respuesta en frecuencia offline
La app Model Linearizer estimula el sistema con una señal de perturbación de entrada a frecuencias especificadas y registra la respuesta de salida del modelo durante la simulación (Figura 5). Después de la simulación, las señales de entrada y salida registradas se procesan para calcular una respuesta en frecuencia del modelo.

Estimación de la respuesta en frecuencia online
La respuesta en frecuencia de una planta física se estima durante el funcionamiento en tiempo real con el bloque Frequency Response Estimator. Este bloque inyecta señales de prueba sinusoidales en la planta en el punto de funcionamiento nominal. La respuesta en frecuencia se ajusta continuamente a medida que se recopilan datos de la señal de salida.

La siguiente tabla muestra las señales de perturbación que se pueden inyectar en base a las necesidades de estimación de rango de frecuencia, precisión y velocidad de estimación.

En resumen, calcular la respuesta en frecuencia de un sistema es importante para analizar y diseñar sistemas de control. MATLAB y Simulink proporcionan diferentes métodos para obtener la respuesta en frecuencia de un sistema. Para más información sobre estos métodos, consulte los ejemplos y las referencias que se ofrecen a continuación.