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Distribución Lognormal

Visión general

La distribución lognormal, a veces llamada la distribución Galton, es una distribución de probabilidad cuyo logaritmo tiene una distribución normal. La distribución lognormal es aplicable cuando la cantidad de interés debe ser positiva, porque log () sólo existe cuando es positivo.xx

ofrece varias formas de trabajar con la distribución lognormal.Statistics and Machine Learning Toolbox™

• Cree un objeto de distribución de probabilidad mediante la adaptación de una distribución de probabilidad a datos de ejemplo () o especificando valores de parámetro ().LognormalDistributionfitdistmakedist A continuación, utilice las funciones de objeto para evaluar la distribución, generar números aleatorios, etcétera.

• Trabaje con la distribución lognormal de forma interactiva mediante la aplicación.Distribución Fitter Puede exportar un objeto de la aplicación y utilizar las funciones del objeto.

• Utilice funciones específicas de la distribución (,,,,,,) con parámetros de distribución especificados.logncdflognpdflogninvlognlikelognstatlognfitlognrnd Las funciones específicas de la distribución pueden aceptar parámetros de varias distribuciones lognormal.

• Utilice funciones de distribución genéricas (,,,) con un nombre de distribución especificado () y parámetros.cdficdfpdfAleatorio'Lognormal'

Parámetros

La distribución lognormal utiliza estos parámetros.

Parámetro	Descripción	Apoyo
(muμ)	La media de valores logarítmicos	$$-\infty <\mu <\infty$$
(sigmaσ)	Desviación estándar de valores logarítmicos	$$\sigma \ge 0$$

Si sigue la distribución lognormal con parámetros y, a continuación, log () sigue la distribución normal con la media y la desviación estándar.XµσXµσ

Estimación de parámetros

Para ajustar la distribución lognormal a los datos y encontrar las estimaciones de parámetros, utilice, o.lognfitfitdistmle

• Para los datos sin censura, y encontrar las estimaciones imparciales de los parámetros de distribución, y encuentra las estimaciones de máxima verosimilitud.lognfitfitdistmle

• Para los datos censurados,,, y encontrar las estimaciones de máxima verosimilitud.lognfitfitdistmle

A diferencia de y, que las estimaciones de parámetro de retorno, devuelve el objeto de distribución de probabilidad ajustada.lognfitmlefitdistLognormalDistribution Las propiedades del objeto y almacenar las estimaciones de parámetros.musigma

Estadística descriptiva

La media y la varianza de una variable aleatoria lognormal son funciones de los parámetros de distribución lognormal y:mvµσ

$$\begin{array}{l}m=\exp \left(\mu +{\sigma }^2/2\right)\\ v=\exp \left(2\mu +{\sigma }^2\right)\left(\exp \left({\sigma }^2\right)-1\right)\end{array}$$

Además, puede calcular los parámetros de distribución lognormal y de la media y la varianza:µσmv

$$\begin{array}{l}\mu =\log \left(m^2/\sqrt{v+m^2}\right)\\ \sigma =\sqrt{\log \left(v/m^2+1\right)}\end{array}$$

Función de densidad de probabilidad

La función de densidad de probabilidad (pdf) de la distribución lognormal es

$$y=f(x|\mu ,\sigma )=\frac{1}{x\sigma \sqrt{2\pi }}\exp \left\{\frac{-{\left(\log x-\mu \right)}^2}{2{\sigma }^2}\right\},\text{for}x>0.$$

Para ver un ejemplo, vea.Compute lognormal Distribution pdf

Función de distribución acumulativa

La función de distribución acumulativa (CDF) de la distribución lognormal es

$$p=F(x|\mu ,\sigma )=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\displaystyle {\int }_0^x\frac{1}{t}}\exp \left\{\frac{-{(\log t-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}\right\}dt,\text{for}x>0.$$

Para ver un ejemplo, vea.Compute lognormal Distribution CDF

Ejemplos

Compute lognormal Distribution pdf

Supongamos que los ingresos de una familia de cuatro en los Estados Unidos siguen una distribución lognormal con y.mu = log(20,000)sigma = 1 Calcule y trace la densidad de ingresos.

Cree un objeto de distribución lognormal especificando los valores de los parámetros.

pd = makedist('Lognormal','mu',log(20000),'sigma',1)

pd =    LognormalDistribution    Lognormal distribution        mu = 9.90349     sigma =       1  

Calcule los valores PDF.

x = (10:1000:125010)'; y = pdf(pd,x);

Trace el pdf.

plot(x,y) h = gca; h.XTick = [0 30000 60000 90000 120000]; h.XTickLabel = {'0','$30,000','$60,000',...                     '$90,000','$120,000'};

Compute lognormal Distribution CDF

Calcule los valores de CDF evaluados en los valores de la distribución lognormal con la media y la desviación estándar.xmusigma

x = 0:0.2:10; mu = 0; sigma = 1; p = logncdf(x,mu,sigma);

Traza la CDF.

plot(x,p) grid on xlabel('x') ylabel('p')

Relación entre distribuciones normales y lognormal

Si sigue la distribución lognormal con parámetros y, a continuación, log () sigue la distribución normal con la media y la desviación estándar.XµσXµσ Utilice objetos de distribución para inspeccionar la relación entre distribuciones normales y lognormal.

Cree un objeto de distribución lognormal especificando los valores de los parámetros.

pd = makedist('Lognormal','mu',5,'sigma',2)

pd =    LognormalDistribution    Lognormal distribution        mu = 5     sigma = 2  

Calcule la media de la distribución lognormal.

mean(pd)

ans = 1.0966e+03 

La media de la distribución lognormal no es igual al parámetro.mu La media de los valores logarítmicos es igual a.mu Confirme esta relación generando números aleatorios.

Genere números aleatorios a partir de la distribución lognormal y calcule sus valores de registro.

rng('default');  % For reproducibility x = random(pd,10000,1); logx = log(x);

Calcule la media de los valores logarítmicos.

m = mean(logx)

m = 5.0033 

La media del tronco está cerca del parámetro de, porque tiene una distribución lognormal.xmuxx

Construya un histograma con un ajuste de distribución normal.logx

histfit(logx)

La gráfica muestra que los valores de registro de se distribuyen normalmente.x

utiliza para ajustar una distribución a los datos.histfitfitdist Se utiliza para obtener los parámetros utilizados en el ajuste.fitdist

pd_normal = fitdist(logx,'Normal')

pd_normal =    NormalDistribution    Normal distribution        mu = 5.00332   [4.96445, 5.04219]     sigma = 1.98296   [1.95585, 2.01083]  

Los parámetros de distribución normales estimados están cerca de los parámetros de distribución lognormal 5 y 2.

Compare los archivos PDF de lognormal y Burr Distribution

Compare el pdf lognormal con el pdf Burr utilizando datos de ingresos generados a partir de una distribución lognormal.

Genere los datos de ingresos.

rng('default') % For reproducibility y = random('Lognormal',log(25000),0.65,[500,1]);

Ajuste una distribución de Burr.

pd = fitdist(y,'burr')

pd =    BurrDistribution    Burr distribution     alpha = 26007.2   [21165.5, 31956.4]         c = 2.63743   [2.3053, 3.0174]         k = 1.09658   [0.775479, 1.55064]  

Trace los archivos PDF Burr y lognormal de los datos de ingresos en la misma figura.

p_burr = pdf(pd,sortrows(y)); p_lognormal = pdf('Lognormal',sortrows(y),log(25000),0.65); plot(sortrows(y),p_burr,'-',sortrows(y),p_lognormal,'-.') title('Burr and Lognormal pdfs Fit to Income Data') legend('Burr Distribution','Lognormal Distribution')

Distribuciones relacionadas

• — La distribución lognormal está estrechamente relacionada con la distribución normal.Distribución normal Si se distribuye lognorcamente con parámetros y, a continuación, log () se distribuye normalmente con la media y la desviación estándar.Xμσxμσ Ver.Relación entre distribuciones normales y lognormal

• — La distribución de Burr es una familia de distribución flexible que puede expresar una amplia gama de formas de distribución.Tipo de Burr XII distribución Tiene como un caso limitante muchas distribuciones comúnmente utilizadas tales como gamma, lognormal, loglogistic, en forma de campana, y distribuciones beta en forma de J (pero no en forma de U). Ver.Compare los archivos PDF de lognormal y Burr Distribution

Referencias

[1] Abramowitz, M., and I. A. Stegun. Handbook of Mathematical Functions. New York: Dover, 1964.

[2] Evans, M., N. Hastings, and B. Peacock. Statistical Distributions. 2nd ed., Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 1993.

[3] Lawless, J. F. Statistical Models and Methods for Lifetime Data. Hoboken, NJ: Wiley-Interscience, 1982.

[4] Marsaglia, G., and W. W. Tsang. “A Fast, Easily Implemented Method for Sampling from Decreasing or Symmetric Unimodal Density Functions.” SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing. Vol. 5, Number 2, 1984, pp. 349–359.

[5] Meeker, W. Q., and L. A. Escobar. Statistical Methods for Reliability Data. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 1998.

[6] Mood, A. M., F. A. Graybill, and D. C. Boes. Introduction to the Theory of Statistics. 3rd ed., New York: McGraw-Hill, 1974. pp. 540–541.

Consulte también

LognormalDistribution | logncdf | lognfit | logninv | lognlike | lognpdf | lognrnd | lognstat

Temas relacionados

• Trabajar con distribuciones de probabilidad
• Distribuciones admitidas

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