Distribución Lognormal

Visión general

La distribución lognormal, a veces llamada distribución Galton, es una distribución de probabilidad cuyo logaritmo tiene una distribución normal. La distribución lognormal es aplicable cuando la cantidad de interés debe ser positiva, porque log( ) solo existe cuando es positiva.xx

ofrece varias formas de trabajar con la distribución lognormal.Statistics and Machine Learning Toolbox™

• Cree un objeto de distribución de probabilidad ajustando una distribución de probabilidad a los datos de muestra ( ) o especificando valores de parámetro ( ).LognormalDistributionfitdistmakedist A continuación, utilice funciones de objeto para evaluar la distribución, generar números aleatorios, etc.

• Trabaje con la distribución lognormal de forma interactiva mediante la aplicación.Creador Fitter Puede exportar un objeto desde la aplicación y utilizar las funciones de objeto.

• Utilice funciones específicas de distribución ( , , , , , , , , ) con parámetros de distribución especificados.logncdflognpdflogninvlognlikelognstatlognfitlognrnd Las funciones específicas de la distribución pueden aceptar parámetros de varias distribuciones lognormales.

• Utilice funciones de distribución genéricas ( , , , ) con un nombre de distribución especificado ( ) y parámetros.cdficdfpdfrandom'Lognormal'

Parámetros

La distribución lognormal utiliza estos parámetros.

Parámetro	Descripción	Apoyo
mu (μ)	Media de valores logarítmicos	$$-\infty <\mu <\infty$$
sigma (σ)	Desviación estándar de los valores logarítmicos	$$\sigma \ge 0$$

Si sigue la distribución lognormal con parámetros y, a continuación, log( ) sigue la distribución normal con media y desviación estándar.XµσXµσ

Estimación de parámetros

Para ajustar la distribución lognormal a los datos y buscar las estimaciones de parámetros, utilice , , o .lognfitfitdistmle

• Para los datos sin censura, y encontrar las estimaciones imparciales de los parámetros de distribución, y encuentra las estimaciones de máxima probabilidad.lognfitfitdistmle

• Para los datos censurados, , , y encontrar las estimaciones de máxima probabilidad.lognfitfitdistmle

A diferencia de y , que devuelven estimaciones de parámetros, devuelve el objeto de distribución de probabilidad ajustado.lognfitmlefitdistLognormalDistribution El objeto propiedades y almacenar las estimaciones de parámetros.musigma

Estadísticas descriptivas

La media y la varianza de una variable aleatoria lognormal son funciones de los parámetros de distribución lognormal y:mvµσ

$$\begin{array}{l}m=\exp \left(\mu +{\sigma }^2/2\right)\\ v=\exp \left(2\mu +{\sigma }^2\right)\left(\exp \left({\sigma }^2\right)-1\right)\end{array}$$

Además, puede calcular los parámetros de distribución lognormal y desde la media y la varianza:µσmv

$$\begin{array}{l}\mu =\log \left(m^2/\sqrt{v+m^2}\right)\\ \sigma =\sqrt{\log \left(v/m^2+1\right)}\end{array}$$

Función de densidad de probabilidad

La función de densidad de probabilidad (pdf) de la distribución lognormal es

$$y=f(x|\mu ,\sigma )=\frac{1}{x\sigma \sqrt{2\pi }}\exp \left\{\frac{-{\left(\log x-\mu \right)}^2}{2{\sigma }^2}\right\},\text{for}x>0.$$

Para obtener un ejemplo, consulte .Calcular distribución Lognormal pdf

Función de distribución acumulativa

La función de distribución acumulativa (cdf) de la distribución lognormal es

$$p=F(x|\mu ,\sigma )=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\displaystyle {\int }_0^x\frac{1}{t}}\exp \left\{\frac{-{(\log t-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}\right\}dt,\text{for}x>0.$$

Para obtener un ejemplo, consulte .Calcular distribución Lognormal cdf

Ejemplos

Calcular distribución Lognormal pdf

Supongamos que los ingresos de una familia de cuatro en los Estados Unidos siguen una distribución lognormal con y .mu = log(20,000)sigma = 1 Calcular y trazar la densidad de ingresos.

Cree un objeto de distribución lognormal especificando los valores de parámetro.

pd = makedist('Lognormal','mu',log(20000),'sigma',1)

pd =    LognormalDistribution    Lognormal distribution        mu = 9.90349     sigma =       1  

Calcular los valores pdf.

x = (10:1000:125010)'; y = pdf(pd,x);

Trazar el pdf.

plot(x,y) h = gca; h.XTick = [0 30000 60000 90000 120000]; h.XTickLabel = {'0','$30,000','$60,000',...                     '$90,000','$120,000'};

Calcular distribución Lognormal cdf

Calcular los valores cdf evaluados en los valores de la distribución lognormal con media y desviación estándar.xmusigma

x = 0:0.2:10; mu = 0; sigma = 1; p = logncdf(x,mu,sigma);

Trazar el cdf.

plot(x,p) grid on xlabel('x') ylabel('p')

Relación entre distribuciones normales y lognormales

Si sigue la distribución lognormal con parámetros y, a continuación, log( ) sigue la distribución normal con media y desviación estándar.XµσXµσ Utilice objetos de distribución para inspeccionar la relación entre las distribuciones normales y lognormales.

Cree un objeto de distribución lognormal especificando los valores de parámetro.

pd = makedist('Lognormal','mu',5,'sigma',2)

pd =    LognormalDistribution    Lognormal distribution        mu = 5     sigma = 2  

Calcular la media de la distribución lognormal.

mean(pd)

ans = 1.0966e+03 

La media de la distribución lognormal no es igual al parámetro.mu La media de los valores logarítmicos es igual a .mu Confirme esta relación generando números aleatorios.

Genere números aleatorios a partir de la distribución lognormal y calcule sus valores de registro.

rng('default');  % For reproducibility x = random(pd,10000,1); logx = log(x);

Calcular la media de los valores logarítmicos.

m = mean(logx)

m = 5.0033 

La media del registro de está cerca del parámetro de , porque tiene una distribución lognormal.xmuxx

Construya un histograma con un ajuste de distribución normal.logx

histfit(logx)

El trazado muestra que los valores de registro de se distribuyen normalmente.x

se utiliza para ajustar una distribución a los datos.histfitfitdist Se utiliza para obtener los parámetros utilizados en el empalme.fitdist

pd_normal = fitdist(logx,'Normal')

pd_normal =    NormalDistribution    Normal distribution        mu = 5.00332   [4.96445, 5.04219]     sigma = 1.98296   [1.95585, 2.01083]  

Los parámetros de distribución normal estimados están cerca de los parámetros de distribución lognormal 5 y 2.

Comparar pdf de distribución de Lognormal y Burr

Compare el pdf lognormal con el pdf de Burr utilizando los datos de ingresos generados a partir de una distribución lognormal.

Generar los datos de ingresos.

rng('default') % For reproducibility y = random('Lognormal',log(25000),0.65,[500,1]);

Ajuste una distribución de Burr.

pd = fitdist(y,'burr')

pd =    BurrDistribution    Burr distribution     alpha = 26007.2   [21165.5, 31956.4]         c = 2.63743   [2.3053, 3.0174]         k = 1.09658   [0.775479, 1.55064]  

Trazar tanto la Burr como los pdf normales de los datos de ingresos en la misma cifra.

p_burr = pdf(pd,sortrows(y)); p_lognormal = pdf('Lognormal',sortrows(y),log(25000),0.65); plot(sortrows(y),p_burr,'-',sortrows(y),p_lognormal,'-.') title('Burr and Lognormal pdfs Fit to Income Data') legend('Burr Distribution','Lognormal Distribution')

Distribuciones relacionadas

• — La distribución lognormal está estrechamente relacionada con la distribución normal.Distribución normal Si se distribuye lognormalmente con parámetros y , a continuación log( ) se distribuye normalmente con la media y la desviación estándar.Xμσxμσ Ver.Relación entre distribuciones normales y lognormales

• — La distribución De Burr es una familia de distribución flexible que puede expresar una amplia gama de formas de distribución.Burr Type XII Distribution Tiene como caso limitante muchas distribuciones de uso común como gamma, lognormal, logística, en forma de campana y en forma de J distribuciones beta (pero no en forma de U). Ver.Comparar pdf de distribución de Lognormal y Burr

Referencias

[1] Abramowitz, M., and I. A. Stegun. Handbook of Mathematical Functions. New York: Dover, 1964.

[2] Evans, M., N. Hastings, and B. Peacock. Statistical Distributions. 2nd ed., Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 1993.

[3] Lawless, J. F. Statistical Models and Methods for Lifetime Data. Hoboken, NJ: Wiley-Interscience, 1982.

[4] Marsaglia, G., and W. W. Tsang. “A Fast, Easily Implemented Method for Sampling from Decreasing or Symmetric Unimodal Density Functions.” SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing. Vol. 5, Number 2, 1984, pp. 349–359.

[5] Meeker, W. Q., and L. A. Escobar. Statistical Methods for Reliability Data. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 1998.

[6] Mood, A. M., F. A. Graybill, and D. C. Boes. Introduction to the Theory of Statistics. 3rd ed., New York: McGraw-Hill, 1974. pp. 540–541.

Consulte también

logncdf | lognfit | logninv | lognlike | LognormalDistribution | lognpdf | lognrnd | lognstat

Temas relacionados

• Trabajar con distribuciones de probabilidad
• Supported Distributions

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