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lsqnonlin

Resolver problemas de mínimos cuadrados no lineales (ajuste de datos no lineales)

Sintaxis

x = lsqnonlin(fun,x0)

x = lsqnonlin(fun,x0,lb,ub)

x = lsqnonlin(fun,x0,lb,ub,A,b,Aeq,beq)

x = lsqnonlin(fun,x0,lb,ub,A,b,Aeq,beq,nonlcon)

x = lsqnonlin(fun,x0,lb,ub,options)

x = lsqnonlin(fun,x0,lb,ub,A,b,Aeq,beq,nonlcon,options)

x = lsqnonlin(problem)

[x,resnorm] = lsqnonlin(___)

[x,resnorm,residual,exitflag,output] = lsqnonlin(___)

[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,jacobian] = lsqnonlin(___)

Descripción

Solver de mínimos cuadrados no lineales

Resuelve problemas de ajuste de curvas de mínimos cuadrados no lineales con el formato

$$\underset{x}{\min }{\Vert f(x)\Vert }_2^2=\underset{x}{\min }\left(f_1{(x)}^2+f_2{(x)}^2+\mathrm{...}+f_n{(x)}^2\right)$$

sujeto a las restricciones

$$\begin{array}{c}\text{lb}\le x\\ x\le \text{ub}\\ Ax\le b\\ \text{Aeq}x=\text{beq}\\ c(x)\le 0\\ \text{ceq}(x)=0.\end{array}$$

x, lb y ub pueden ser vectores o matrices; consulte Argumentos de matriz.

No especifique la función objetivo como el valor escalar $${\Vert f(x)\Vert }_2^2$$ (la suma de cuadrados). lsqnonlin requiere que la función objetivo sea una función de valor vectorial

$$f(x)=\left[\begin{array}{c}{f}_1(x)\\ f_2(x)\\ ⋮\\ f_n(x)\end{array}\right].$$

x = lsqnonlin(fun,x0) comienza en el punto x0 y encuentra un mínimo de la suma de cuadrados de las funciones descritas en fun. La función fun debería devolver un vector (o arreglo) de valores y no la suma de cuadrados de los valores. (El algoritmo calcula implícitamente la suma de cuadrados de los componentes de fun(x)).

Nota

Pasar parámetros adicionales explica cómo pasar parámetros adicionales a la función vectorial fun(x), si fuera necesario.

x = lsqnonlin(fun,x0,lb,ub) define un conjunto de límites inferiores y superiores en las variables de diseño de x, de modo que la solución siempre se encuentra en el rango lb ≤ x ≤ ub. Puede fijar el componente de la solución x(i) especificando lb(i) = ub(i).

Nota

Si los límites de entrada especificados para un problema son inconsistentes, la salida x es x0 y las salidas resnorm y residual son [].

Los componentes de x0 que vulneran los límites lb ≤ x ≤ ub se restablecen al interior del cuadro definido por los límites. Los componentes que respetan los límites no se cambian.

x = lsqnonlin(fun,x0,lb,ub,A,b,Aeq,beq) restringe la solución para satisfacer las restricciones lineales

A x ≤ b

Aeq x = beq.

x = lsqnonlin(fun,x0,lb,ub,A,b,Aeq,beq,nonlcon) restringe la solución para satisfacer las restricciones no lineales en la función nonlcon(x). nonlcon devuelve dos salidas: c y ceq. El solver intenta satisfacer las restricciones

c ≤ 0

ceq = 0.

x = lsqnonlin(fun,x0,lb,ub,options) y x = lsqnonlin(fun,x0,lb,ub,A,b,Aeq,beq,nonlcon,options) minimizan con las opciones de optimización especificadas en options. Utilice optimoptions para configurar estas opciones. Pase matrices vacías para lb y ub y para otros argumentos de entrada si los argumentos no existen.

x = lsqnonlin(problem) encuentra el mínimo para problem, una estructura descrita en problem.

[x,resnorm] = lsqnonlin(___), para cualquier argumento de entrada, devuelve la norma euclídea al cuadrado del valor residual en x: sum(fun(x).^2).

[x,resnorm,residual,exitflag,output] = lsqnonlin(___), devuelve adicionalmente el valor del residual fun(x) en la solución x, un valor exitflag que describe la condición de salida y una estructura output que contiene información sobre el proceso de optimización.

[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,jacobian] = lsqnonlin(___) devuelve adicionalmente una estructura lambda cuyos campos contienen los multiplicadores de Lagrange en la solución x y la matriz jacobiana de fun en la solución x.

Ejemplos

Ajustar una exponencial simple

Ajuste una curva de decaimiento exponencial simple a los datos.

Genere datos a partir de un modelo de decaimiento exponencial con ruido. El modelo es

$$y=\exp (-1.3t)+\epsilon ,$$

con $$t$$ en un rango de 0 a 3 y ruido $$\epsilon$$ distribuido normalmente con una media de 0 y una desviación estándar de 0,05.

rng default % for reproducibility
d = linspace(0,3);
y = exp(-1.3*d) + 0.05*randn(size(d));

El problema es: dados los datos (d, y), encuentre la tasa de decaimiento exponencial que mejor se ajuste a dichos datos.

Cree una función anónima que tome un valor de la tasa de decaimiento exponencial $$r$$ y devuelva un vector de diferencias a partir del modelo con esa tasa de decaimiento y los datos.

fun = @(r)exp(-d*r)-y;

Encuentre el valor de la tasa de decaimiento óptima. Escoja arbitrariamente una conjetura inicial x0 = 4.

x0 = 4;
x = lsqnonlin(fun,x0)

Local minimum possible.

lsqnonlin stopped because the final change in the sum of squares relative to 
its initial value is less than the value of the function tolerance.

x = 1.2645

Represente los datos y la curva exponencial que mejor se ajuste.

plot(d,y,'ko',d,exp(-x*d),'b-')
legend('Data','Best fit')
xlabel('t')
ylabel('exp(-tx)')

Ajustar un problema con límites de restricción

Encuentre el modelo que mejor se ajuste cuando algunos de los parámetros de ajuste tengan límites.

Encuentre la $$b$$ de centrado y la $$a$$ de escalado que mejor se ajusten a la función

$$a\exp (-t)\exp (-\exp (-(t-b)))$$

a la densidad normal estándar,

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp (-t^2/2).$$

Cree un vector t de puntos de datos y la correspondiente densidad normal en esos puntos.

t = linspace(-4,4);
y = 1/sqrt(2*pi)*exp(-t.^2/2);

Cree una función que evalúe la diferencia entre la función centrada y la función escalada a partir de la y normal, con x(1) como la $$a$$ de escalado y x(2) como la $$b$$ de centrado.

fun = @(x)x(1)*exp(-t).*exp(-exp(-(t-x(2)))) - y;

Encuentre el ajuste óptimo comenzando por x0 = [1/2,0], con la $$a$$ de escalado entre 1/2 y 3/2, y la $$b$$ de centrado entre –1 y 3.

lb = [1/2,-1];
ub = [3/2,3];
x0 = [1/2,0];
x = lsqnonlin(fun,x0,lb,ub)

Local minimum possible.

lsqnonlin stopped because the final change in the sum of squares relative to 
its initial value is less than the value of the function tolerance.

x = 1×2

    0.8231   -0.2444

Represente las dos funciones para comprobar la calidad del ajuste.

plot(t,y,'r-',t,fun(x)+y,'b-')
xlabel('t')
legend('Normal density','Fitted function')

Mínimos cuadrados con restricción lineal

Considere la función objetivo siguiente, una suma de cuadrados:

$$\sum _{k=1}^{10}{(2+2k+\exp \left(k{x}_1\right)+2\exp \left(2k{x}_2^2\right))}^2.$$

El código para esta función objetivo aparece como la función myfun al final de este ejemplo.

Minimice esta función sujeta a la restricción lineal $$x_1\le \frac{x_2}{2}$$. Escriba esta restricción como $$x_1-\frac{x_2}{2}\le 0$$.

A = [1 -1/2];
b = 0;

Imponga los límites $$x_1\ge 0$$, $$x_2\ge 0$$, $$x_1\le 2$$ y $$x_2\le 4$$.

lb = [0 0];
ub = [2 4];

Inicie el proceso de optimización desde el punto x0 = [0.3 0.4].

x0 = [0.3 0.4];

El problema no tiene restricciones de igualdad lineales.

Aeq = [];
beq = [];

Ejecutar la optimización.

x = lsqnonlin(@myfun,x0,lb,ub,A,b,Aeq,beq)

Local minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

x = 1×2

    0.1695    0.3389

function F = myfun(x)
k = 1:10;
F = 2 + 2*k - exp(k*x(1)) - 2*exp(2*k*(x(2)^2));
end

Mínimos cuadrados con restricciones lineales y no lineales

Considere la función objetivo siguiente, una suma de cuadrados:

$$\sum _{k=1}^{10}{(2+2k+\exp \left(k{x}_1\right)+2\exp \left(2k{x}_2^2\right))}^2.$$

El código para esta función objetivo aparece como la función myfun al final de este ejemplo.

Minimice esta función sujeta a la restricción no lineal $$\sin (x_1)\le \cos (x_2)$$. El código para esta función de restricción no lineal aparece como la función nlcon al final de este ejemplo.

Imponga los límites $$x_1\ge 0$$, $$x_2\ge 0$$, $$x_1\le 2$$ y $$x_2\le 4$$.

lb = [0 0];
ub = [2 4];

Inicie el proceso de optimización desde el punto x0 = [0.3 0.4].

x0 = [0.3 0.4];

El problema no tiene restricciones lineales.

A = [];
b = [];
Aeq = [];
beq = [];

Ejecutar la optimización.

x = lsqnonlin(@myfun,x0,lb,ub,A,b,Aeq,beq,@nlcon)

Local minimum possible. Constraints satisfied.

fmincon stopped because the size of the current step is less than
the value of the step size tolerance and constraints are 
satisfied to within the value of the constraint tolerance.

x = 1×2

    0.2133    0.3266

function F = myfun(x)
k = 1:10;
F = 2 + 2*k - exp(k*x(1)) - 2*exp(2*k*(x(2)^2));
end

function [c,ceq] = nlcon(x)
ceq = [];
c = sin(x(1)) - cos(x(2));
end

Mínimos cuadrados no lineales con opciones no predeterminadas

Compare los resultados de un problema de ajuste de datos cuando se utilizan diferentes algoritmos lsqnonlin.

Suponga que tiene datos de tiempo de observación xdata y datos de respuesta observada ydata, y desea encontrar parámetros $$x(1)$$ y $$x(2)$$ para ajustar un modelo con el formato

$$\text{ydata}=x(1)\exp (x(2)\text{xdata}).$$

Introduzca los tiempos de observación y las respuestas.

xdata = ...
 [0.9 1.5 13.8 19.8 24.1 28.2 35.2 60.3 74.6 81.3];
ydata = ...
 [455.2 428.6 124.1 67.3 43.2 28.1 13.1 -0.4 -1.3 -1.5];

Cree un modelo de decaimiento exponencial simple. El modelo calcula un vector de diferencias entre los valores previstos y los valores observados.

fun = @(x)x(1)*exp(x(2)*xdata)-ydata;

Ajuste el modelo utilizando el punto de inicio x0 = [100,-1]. En primer lugar, utilice el algoritmo predeterminado 'trust-region-reflective'.

x0 = [100,-1];
options = optimoptions(@lsqnonlin,'Algorithm','trust-region-reflective');
x = lsqnonlin(fun,x0,[],[],options)

Local minimum possible.

lsqnonlin stopped because the final change in the sum of squares relative to 
its initial value is less than the value of the function tolerance.

x = 1×2

  498.8309   -0.1013

Compruebe si existe alguna diferencia al utilizar el algoritmo 'levenberg-marquardt'.

options.Algorithm = 'levenberg-marquardt';
x = lsqnonlin(fun,x0,[],[],options)

Local minimum possible.
lsqnonlin stopped because the relative size of the current step is less than
the value of the step size tolerance.

x = 1×2

  498.8309   -0.1013

Los dos algoritmos han encontrado la misma solución. Represente la solución y los datos.

plot(xdata,ydata,'ko')
hold on
tlist = linspace(xdata(1),xdata(end));
plot(tlist,x(1)*exp(x(2)*tlist),'b-')
xlabel xdata
ylabel ydata
title('Exponential Fit to Data')
legend('Data','Exponential Fit')
hold off

Solución de mínimos cuadrados no lineales y norma residual

Encuentre la $$x$$ que minimice

$$\sum _{k=1}^{10}{\left(2+2k-e^{k{x}_1}-e^{k{x}_2}\right)}^2$$,

y encuentre el valor de la suma mínima de cuadrados.

Dado que lsqnonlin asume que la suma de cuadrados no se forma explícitamente en la función definida por el usuario, en su lugar, la función pasada a lsqnonlin debería calcular la función de valor vectorial

$$F_k(x)=2+2k-e^{k{x}_1}-e^{k{x}_2}$$,

para $$k=1$$ a $$10$$ (es decir, $$F$$ debería tener $$10$$ componentes).

La función myfun, que calcula el vector F de 10 componentes, aparece al final de este ejemplo.

Encuentre el punto de minimización y el valor mínimo, comenzando en el punto x0 = [0.3,0.4].

x0 = [0.3,0.4];
[x,resnorm] = lsqnonlin(@myfun,x0)

Local minimum possible.
lsqnonlin stopped because the size of the current step is less than
the value of the step size tolerance.

x = 1×2

    0.2578    0.2578

resnorm = 124.3622

La salida resnorm es la norma residual cuadrada o la suma de los cuadrados de los valores de la función.

La siguiente función calcula la función objetivo de valor vectorial.

function F = myfun(x)
k = 1:10;
F = 2 + 2*k-exp(k*x(1))-exp(k*x(2));
end

Examinar el proceso de resolución

Examine el proceso de resolución tanto en el momento en el que tiene lugar (estableciendo la opción Display en 'iter') como posteriormente (examinando la estructura output).

Suponga que tiene datos de tiempo de observación xdata y datos de respuesta observada ydata, y desea encontrar parámetros $$x(1)$$ y $$x(2)$$ para ajustar un modelo con el formato

$$\text{ydata}=x(1)\exp (x(2)\text{xdata}).$$

Introduzca los tiempos de observación y las respuestas.

xdata = ...
 [0.9 1.5 13.8 19.8 24.1 28.2 35.2 60.3 74.6 81.3];
ydata = ...
 [455.2 428.6 124.1 67.3 43.2 28.1 13.1 -0.4 -1.3 -1.5];

Cree un modelo de decaimiento exponencial simple. El modelo calcula un vector de diferencias entre los valores previstos y los valores observados.

fun = @(x)x(1)*exp(x(2)*xdata)-ydata;

Ajuste el modelo utilizando el punto de inicio x0 = [100,-1]. Examine el proceso de resolución estableciendo la opción Display en 'iter'. Obtenga una estructura output para conseguir más información sobre el proceso de resolución.

x0 = [100,-1];
options = optimoptions('lsqnonlin','Display','iter');
[x,resnorm,residual,exitflag,output] = lsqnonlin(fun,x0,[],[],options);

                                            Norm of      First-order 
 Iteration  Func-count      Resnorm            step       optimality
     0          3            359677                         2.88e+04
Objective function returned Inf; trying a new point...
     1          6            359677         11.6976         2.88e+04      
     2          9            321395             0.5         4.97e+04      
     3         12            321395               1         4.97e+04      
     4         15            292253            0.25         7.06e+04      
     5         18            292253             0.5         7.06e+04      
     6         21            270350           0.125         1.15e+05      
     7         24            270350            0.25         1.15e+05      
     8         27            252777          0.0625         1.63e+05      
     9         30            252777           0.125         1.63e+05      
    10         33            243877         0.03125         7.48e+04      
    11         36            243660          0.0625          8.7e+04      
    12         39            243276          0.0625            2e+04      
    13         42            243174          0.0625         1.14e+04      
    14         45            242999           0.125          5.1e+03      
    15         48            242661            0.25         2.04e+03      
    16         51            241987             0.5         1.91e+03      
    17         54            240643               1         1.04e+03      
    18         57            237971               2         3.36e+03      
    19         60            232686               4         6.04e+03      
    20         63            222354               8          1.2e+04      
    21         66            202592              16         2.25e+04      
    22         69            166443              32         4.05e+04      
    23         72            106320              64         6.68e+04      
    24         75           28704.7             128         8.31e+04      
    25         78           89.7947         140.674         2.22e+04      
    26         81           9.57381         2.02599              684      
    27         84           9.50489       0.0619927             2.27      
    28         87           9.50489     0.000462261           0.0114      

Local minimum possible.

lsqnonlin stopped because the final change in the sum of squares relative to 
its initial value is less than the value of the function tolerance.

Examine la estructura de salida para conseguir más información sobre el proceso de resolución.

output

output = struct with fields:
      firstorderopt: 0.0114
         iterations: 28
          funcCount: 87
       cgiterations: 0
          algorithm: 'trust-region-reflective'
           stepsize: 4.6226e-04
            message: 'Local minimum possible....'
       bestfeasible: []
    constrviolation: []

Para la comparación, establezca la opción Algorithm en 'levenberg-marquardt'.

options.Algorithm = 'levenberg-marquardt';
[x,resnorm,residual,exitflag,output] = lsqnonlin(fun,x0,[],[],options);

                                        First-order                     Norm of 
 Iteration  Func-count      Resnorm      optimality       Lambda           step
     0           3           359677        2.88e+04         0.01
Objective function returned Inf; trying a new point...
     1          13           340761        3.91e+04       100000       0.280777
     2          16           304661        5.97e+04        10000       0.373146
     3          21           297292        6.55e+04        1e+06      0.0589933
     4          24           288240        7.57e+04       100000      0.0645444
     5          28           275407        1.01e+05        1e+06      0.0741266
     6          31           249954        1.62e+05       100000       0.094571
     7          36           245896        1.35e+05        1e+07      0.0133606
     8          39           243846        7.26e+04        1e+06      0.0094431
     9          42           243568        5.66e+04       100000      0.0082162
    10          45           243424        1.61e+04        10000     0.00777935
    11          48           243322         8.8e+03         1000      0.0673933
    12          51           242408         5.1e+03          100       0.675209
    13          54           233628        1.05e+04           10        6.59804
    14          57           169089        8.51e+04            1        54.6992
    15          60          30814.7        1.54e+05          0.1        196.939
    16          63          147.496           8e+03         0.01        129.795
    17          66          9.51503             117        0.001        9.96069
    18          69          9.50489          0.0714       0.0001       0.080486
    19          72          9.50489        5.23e-05        1e-05    5.07043e-05

Local minimum possible.
lsqnonlin stopped because the relative size of the current step is less than
the value of the step size tolerance.

El 'levenberg-marquardt' ha convergido con menos iteraciones, pero casi con las mismas evaluaciones de función:

output

output = struct with fields:
         iterations: 19
          funcCount: 72
           stepsize: 5.0704e-05
       cgiterations: []
      firstorderopt: 5.2319e-05
          algorithm: 'levenberg-marquardt'
            message: 'Local minimum possible....'
       bestfeasible: []
    constrviolation: []

Argumentos de entrada

fun — Función cuya suma de cuadrados está minimizada

identificador de función | nombre de función

Función cuya suma de cuadrados está minimizada, especificada como un identificador de función o un nombre de función. Para el algoritmo 'interior-point', fun debe ser un identificador de función. fun es una función que acepta un arreglo x y devuelve un arreglo F, la función objetivo evaluada en x.

Nota

La suma de los cuadrados no debería formarse explícitamente. En su lugar, la función debería devolver un vector de valores de función. Consulte Ejemplos.

La función fun puede especificarse como un identificador de función para un archivo:

x = lsqnonlin(@myfun,x0)

donde myfun es una función de MATLAB^® como

function F = myfun(x)
F = ...            % Compute function values at x

fun también puede ser un identificador de función para una función anónima.

x = lsqnonlin(@(x)sin(x.*x),x0);

lsqnonlin pasa x a su función objetivo en forma de argumento x0. Por ejemplo, si x0 es un arreglo de 5 por 3, lsqnonlin pasa x a fun como un arreglo de 5 por 3.

Si la matriz jacobiana también puede calcularse y la opción 'SpecifyObjectiveGradient' es true, configurado mediante

options = optimoptions('lsqnonlin','SpecifyObjectiveGradient',true)

entonces la función fun debe devolver un segundo argumento de salida con el valor jacobiano J (una matriz) en x. Comprobando el valor de nargout, la función puede evitar calcular J cuando se llama a fun con solo un argumento de salida (en el caso en el que el algoritmo de optimización solo necesite el valor de F, pero no el de J).

function [F,J] = myfun(x)
F = ...          % Objective function values at x
if nargout > 1   % Two output arguments
   J = ...   % Jacobian of the function evaluated at x
end

Si fun devuelve un arreglo de m componentes y x tiene n elementos, donde n es el número de elementos de x0, la matriz jacobiana J es una matriz de m por n donde J(i,j) es la derivada parcial de F(i) con respecto a x(j). (La matriz jacobiana J es la traspuesta del gradiente de F).

Ejemplo: @(x)cos(x).*exp(-x)

Tipos de datos: char | function_handle | string

x0 — Punto inicial

vector real | arreglo real

Punto inicial, especificado como un vector real o un arreglo real. Los solvers utilizan el número de elementos en x0 y el tamaño de x0 para determinar el número y el tamaño de las variables que fun acepta.

Ejemplo: x0 = [1,2,3,4]

Tipos de datos: double

lb — Límites inferiores

vector real | arreglo real

Límites inferiores, especificados como un vector real o un arreglo real. Si el número de elementos en x0 es igual al número de elementos en lb, entonces lb especifica que

x(i) >= lb(i) para todo i.

Si numel(lb) < numel(x0), entonces lb especifica que

x(i) >= lb(i) para 1 <= i <= numel(lb).

Si lb tiene menos elementos que x0, los solvers emiten una advertencia.

Ejemplo: Para especificar que todos los componentes de x son positivos, utilice lb = zeros(size(x0)).

Tipos de datos: double

ub — Límites superiores

vector real | arreglo real

Límites superiores, especificados como un vector real o un arreglo real. Si el número de elementos en x0 es igual al número de elementos en ub, entonces ub especifica que

x(i) <= ub(i) para todo i.

Si numel(ub) < numel(x0), entonces ub especifica que

x(i) <= ub(i) para 1 <= i <= numel(ub).

Si ub tiene menos elementos que x0, los solvers emiten una advertencia.

Ejemplo: Para especificar que todos los componentes de x son menores que 1, utilice ub = ones(size(x0)).

Tipos de datos: double

A — Restricciones de desigualdad lineales

matriz real

Restricciones de desigualdad lineales, especificadas como una matriz real. A es una matriz de M por N, donde M es el número de desigualdades y N es el número de variables (número de elementos de x0). Para problemas grandes, pase A como una matriz dispersa.

A codifica las M desigualdades lineales

A*x <= b,

donde x es el vector columna de N variables x(:) y b es un vector columna con M elementos.

Por ejemplo, considere estas desigualdades:

x₁ + 2x₂ ≤ 10
3x₁ + 4x₂ ≤ 20
5x₁ + 6x₂ ≤ 30,

Especifique las desigualdades introduciendo las siguientes restricciones.

A = [1,2;3,4;5,6];
b = [10;20;30];

Ejemplo: Para especificar que los componentes de x suman 1 o menos, utilice A = ones(1,N) y b = 1.

Tipos de datos: double

b — Restricciones de desigualdad lineales

vector real

Restricciones de desigualdad lineales, especificadas como un vector real. b es un vector de M elementos relacionado con la matriz A. Si pasa b como un vector fila, los solvers convierten internamente b en el vector columna b(:). Para problemas grandes, pase b como un vector disperso.

b codifica las M desigualdades lineales

A*x <= b,

donde x es el vector columna de N variables x(:) y A es una matriz de tamaño M por N.

Por ejemplo, considere estas desigualdades:

x₁ + 2x₂ ≤ 10
3x₁ + 4x₂ ≤ 20
5x₁ + 6x₂ ≤ 30.

Especifique las desigualdades introduciendo las siguientes restricciones.

A = [1,2;3,4;5,6];
b = [10;20;30];

Ejemplo: Para especificar que los componentes de x suman 1 o menos, utilice A = ones(1,N) y b = 1.

Tipos de datos: double

Aeq — Restricciones de igualdad lineales

matriz real

Restricciones de igualdad lineales, especificadas como una matriz real. Aeq es una matriz de Me por N, donde Me es el número de igualdades y N es el número de variables (número de elementos de x0). Para problemas grandes, pase Aeq como una matriz dispersa.

Aeq codifica las Me igualdades lineales

Aeq*x = beq,

donde x es el vector columna de N variables x(:) y beq es un vector columna con Me elementos.

Por ejemplo, considere estas desigualdades:

x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 10
2x₁ + 4x₂ + x₃ = 20,

Especifique las desigualdades introduciendo las siguientes restricciones.

Aeq = [1,2,3;2,4,1];
beq = [10;20];

Ejemplo: Para especificar que los componentes de x suman 1, utilice Aeq = ones(1,N) y beq = 1.

Tipos de datos: double

beq — Restricciones de igualdad lineales

vector real

Restricciones de igualdad lineales, especificadas como un vector real. beq es un vector de Me elementos relacionado con la matriz Aeq. Si pasa beq como un vector fila, los solvers convierten internamente beq en el vector columna beq(:). Para problemas grandes, pase beq como un vector disperso.

beq codifica las Me igualdades lineales

Aeq*x = beq,

donde x es el vector columna de N variables x(:) y Aeq es una matriz de tamaño Me por N.

Por ejemplo, considere estas igualdades:

x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 10
2x₁ + 4x₂ + x₃ = 20.

Especifique las igualdades introduciendo las siguientes restricciones.

Aeq = [1,2,3;2,4,1];
beq = [10;20];

Ejemplo: Para especificar que los componentes de x suman 1, utilice Aeq = ones(1,N) y beq = 1.

Tipos de datos: double

nonlcon — Restricciones no lineales

identificador de función

Restricciones no lineales, especificadas como un identificador de función. nonlcon es una función que acepta un vector o arreglo x y devuelve dos arreglos, c(x) y ceq(x).

• c(x) es el arreglo de restricciones de desigualdad no lineales de x. lsqnonlin intenta satisfacer

  c(x) <= 0 para todas las entradas de c.

  (1)

• ceq(x) es el arreglo de restricciones de igualdad no lineales de x. lsqnonlin intenta satisfacer

  ceq(x) = 0 para todas las entradas de ceq.

  (2)

Por ejemplo:

x = lsqnonlin(@myfun,x0,lb,ub,A,b,Aeq,beq,@mycon,options)

donde mycon es una función de MATLAB como

function [c,ceq] = mycon(x)
c = ...     % Compute nonlinear inequalities at x.
ceq = ...   % Compute nonlinear equalities at x.

Si las jacobianas (derivadas) de las restricciones también pueden calcularse y la opción SpecifyConstraintGradient es true, según establece

options = optimoptions('','SpecifyConstraintGradient',true)

entonces, nonlcon también debe devolver, en el tercer y el cuarto argumento de salida, GC, la jacobiana de c(x), y GCeq, la jacobiana de ceq(x). La jacobiana G(x) de una función vectorial F(x) es

$$G_{i,j}(x)=\frac{\partial F_i(x)}{\partial x_j}.$$

GC y GCeq pueden ser dispersas o densas. Si GC o GCeq son grandes, con relativamente pocas entradas distintas de cero, ahorre tiempo de ejecución y memoria en el algoritmo 'interior-point' representándolas como matrices dispersas. Para obtener más información, consulte Restricciones no lineales.

Tipos de datos: function_handle

options — Opciones de optimización

salida de optimoptions | estructura como la que devuelve optimset

Opciones de optimización, especificadas como la salida de optimoptions o una estructura como la que devuelve optimset.

Algunas opciones son aplicables a todos los algoritmos y otras son relevantes para algoritmos particulares. Consulte Referencia de opciones de optimización para ver información detallada.

Algunas opciones no aparecen en la visualización optimoptions. Estas opciones se muestran en cursiva en la siguiente tabla. Para obtener más detalles, consulte Consultar las opciones de optimización.

Todos los algoritmos
Algorithm	Escoja entre 'trust-region-reflective' (opción predeterminada), 'levenberg-marquardt' y 'interior-point'. La opción Algorithm especifica una preferencia sobre qué algoritmo utilizar. Se trata únicamente de una preferencia, ya que se deben cumplir ciertas condiciones para utilizar cada uno de los algoritmos. Para el algoritmo trust-region-reflective, el número elementos de F devuelto por fun debe ser, al menos, igual a la longitud de x. El algoritmo 'interior-point' es el único algoritmo que puede resolver problemas con restricciones lineales o no lineales. Si incluye estas restricciones en su problema y no especifica un algoritmo, el solver cambia automáticamente al algoritmo 'interior-point'. El algoritmo 'interior-point' llama a una versión modificada del algoritmo fmincon 'interior-point'. Para obtener más información sobre cómo elegir el algoritmo, consulte Seleccionar el algoritmo.
CheckGradients	Compare las derivadas proporcionadas por el usuario (gradientes de objetivo o de restricciones) con las derivadas de diferencias finitas. Las opciones son false (predeterminada) o true. Para optimset, el nombre es DerivativeCheck y los valores son 'on' u 'off'. Consulte Nombres de opciones actuales y antiguos.
Diagnóstico	Muestre información de diagnóstico sobre la función que se desea minimizar o resolver. Las opciones son 'off' (predeterminada) o 'on'.
DiffMaxChange	Cambio máximo en variables para gradientes de diferencias finitas (un escalar positivo). La opción predeterminada es Inf.
DiffMinChange	Cambio mínimo en variables para gradientes de diferencias finitas (un escalar positivo). La opción predeterminada es 0.
Display	Nivel de visualización (consulte Visualización iterativa): 'off' o 'none' no muestran salida alguna. 'iter' muestra la salida en cada iteración y emite el mensaje de salida predeterminado. 'iter-detailed' muestra la salida en cada iteración y emite el mensaje de salida técnico. 'final' (opción predeterminada) solo muestra la salida final y emite el mensaje de salida predeterminado. 'final-detailed' solo muestra la salida final y emite el mensaje de salida técnico.
FiniteDifferenceStepSize	Factor de tamaño de paso de escalar o vector para diferencias finitas. Cuando establece FiniteDifferenceStepSize en un vector v, las diferencias finitas progresivas delta son delta = v.*sign′(x).*max(abs(x),TypicalX); , donde sign′(x) = sign(x) excepto sign′(0) = 1. Las diferencias finitas centrales son delta = v.*max(abs(x),TypicalX); El escalar FiniteDifferenceStepSize se expande a un vector. La opción predeterminada es sqrt(eps) para diferencias finitas progresivas y eps^(1/3) para diferencias finitas centrales. Para optimset, el nombre es FinDiffRelStep. Consulte Nombres de opciones actuales y antiguos.
FiniteDifferenceType	Las diferencias finitas, utilizadas para estimar gradientes, son o bien 'forward' (opción predeterminada), o bien 'central' (centradas). La opción 'central' requiere el doble de evaluaciones de función, pero debería ser más precisa. El algoritmo respeta escrupulosamente los límites cuando estima ambos tipos de diferencias finitas. De este modo, por ejemplo, podrá seleccionar una diferencia regresiva en lugar de progresiva para evitar realizar la evaluación en un punto fuera de los límites. Para optimset, el nombre es FinDiffType. Consulte Nombres de opciones actuales y antiguos.
FunctionTolerance	Tolerancia de terminación en el valor de la función, un escalar positivo. La opción predeterminada es 1e-6. Consulte Tolerancias y criterios de detención. Para optimset, el nombre es TolFun. Consulte Nombres de opciones actuales y antiguos.
FunValCheck	Compruebe si los valores de la función son válidos. 'on' muestra un error cuando la función devuelve un valor complex, Inf o NaN. La opción predeterminada 'off' no muestra ningún error.
MaxFunctionEvaluations	Número máximo de evaluaciones de función permitidas, un entero positivo. El valor predeterminado es 100*numberOfVariables para el algoritmo 'trust-region-reflective', 200*numberOfVariables para el algoritmo 'levenberg-marquardt' y 3000 para el algoritmo 'interior-point'. Consulte Tolerancias y criterios de detención y Iteraciones y recuentos de la función. Para optimset, el nombre es MaxFunEvals. Consulte Nombres de opciones actuales y antiguos.
MaxIterations	Número máximo de iteraciones permitidas, un entero positivo. El valor predeterminado es 400 para los algoritmos 'trust-region-reflective' y 'levenberg-marquardt', y 1000 para el algoritmo 'interior-point'. Consulte Tolerancias y criterios de detención y Iteraciones y recuentos de la función. Para optimset, el nombre es MaxIter. Consulte Nombres de opciones actuales y antiguos.
OptimalityTolerance	Tolerancia de terminación en la optimalidad de primer orden (un escalar positivo). La opción predeterminada es 1e-6. Consulte Medida de optimalidad de primer orden. Internamente, el algoritmo 'levenberg-marquardt' utiliza una tolerancia de optimalidad (criterio de detención) de 1e-4 veces la FunctionTolerance y no utiliza OptimalityTolerance. Para optimset, el nombre es TolFun. Consulte Nombres de opciones actuales y antiguos.
OutputFcn	Especifique una o varias funciones definidas por el usuario a las que una función de optimización llame en cada iteración. Pase un identificador de función o un arreglo de celdas de identificadores de función. La opción predeterminada es ninguno ([]). Consulte Output Function and Plot Function Syntax.
PlotFcn	Representa varias medidas de progreso mientras el algoritmo se ejecuta; seleccione una de las gráficas predefinidas o escriba la suya propia. Pase un nombre, un identificador de función o un arreglo de celdas de nombres o identificadores de función. Para funciones de gráfica personalizadas, pase identificadores de función. La opción predeterminada es ninguno ([]): 'optimplotx' representa el punto actual. 'optimplotfunccount' representa el recuento de la función. 'optimplotfval' representa el valor de la función. 'optimplotresnorm' representa la norma de los valores residuales. 'optimplotstepsize' representa el tamaño de paso. 'optimplotfirstorderopt' representa la medida de optimalidad de primer orden. Las funciones de gráfica personalizadas utilizan la misma sintaxis que las funciones de salida. Consulte Funciones de salida para Optimization Toolbox y Output Function and Plot Function Syntax. Para optimset, el nombre es PlotFcns. Consulte Nombres de opciones actuales y antiguos.
SpecifyObjectiveGradient	Si false (opción predeterminada), el solver aproxima la matriz jacobiana utilizando diferencias finitas. Si true, el solver utiliza una matriz jacobiana definida por el usuario (definida en fun) o información jacobiana (cuando se utiliza JacobMult) para la función objetivo. Para optimset, el nombre es Jacobian y los valores son 'on' u 'off'. Consulte Nombres de opciones actuales y antiguos.
StepTolerance	Tolerancia de terminación en x, un escalar positivo. El valor predeterminado es 1e-6 para los algoritmos 'trust-region-reflective' y 'levenberg-marquardt', y 1e-10 para el algoritmo 'interior-point'. Consulte Tolerancias y criterios de detención. Para optimset, el nombre es TolX. Consulte Nombres de opciones actuales y antiguos.
TypicalX	Valores x típicos. El número de elementos en TypicalX es igual al número de elementos en x0, el punto de inicio. El valor predeterminado es ones(numberofvariables,1). El solver utiliza TypicalX para escalar diferencias finitas para la estimación de gradientes.
UseParallel	Cuando true, el solver estima gradientes en paralelo. Deshabilite la opción estableciéndola en la opción predeterminada, false. Consulte Computación paralela.
Algoritmo trust-region-reflective
JacobianMultiplyFcn	Función de multiplicación de matriz jacobiana, especificada como un identificador de función. Para problemas estructurados a gran escala, esta función calcula el producto de la matriz jacobiana J*Y, J'*Y o J'*(J*Y) sin formar J. La función tiene el formato W = jmfun(Jinfo,Y,flag) donde Jinfo contiene la matriz utilizada para calcular J*Y (o J'*Y, o J'*(J*Y)). El primer argumento Jinfo debe ser el mismo que el segundo argumento devuelto por la función objetivo fun, por ejemplo, por [F,Jinfo] = fun(x) Y es una matriz que tiene el mismo número de filas que dimensiones hay en el problema. flag determina qué producto se calcula: Si flag == 0, entonces W = J'*(J*Y). Si flag > 0, entonces W = J*Y. Si flag < 0, entonces W = J'*Y. En cada caso, J no se forma explícitamente. El solver utiliza Jinfo para calcular el precondicionador. Consulte Pasar parámetros adicionales para obtener información sobre cómo proporcionar valores para cualquier parámetro adicional que jmfun necesite. Nota 'SpecifyObjectiveGradient' debe establecerse en true para que el solver pase Jinfo de fun a jmfun. Consulte Minimization with Dense Structured Hessian, Linear Equalities y Jacobian Multiply Function with Linear Least Squares para ver ejemplos similares. Para optimset, el nombre es JacobMult. Consulte Nombres de opciones actuales y antiguos.
JacobPattern	Patrón de dispersión de la matriz jacobiana para diferenciación finita. Establezca JacobPattern(i,j) = 1 cuando fun(i) dependa de x(j). De lo contrario, establezca JacobPattern(i,j) = 0. En otras palabras, establezca JacobPattern(i,j) = 1 cuando puede tener ∂fun(i)/∂x(j) ≠ 0. Utilice JacobPattern cuando no sea conveniente calcular la matriz jacobiana J en fun, aunque puede determinar (por ejemplo, inspeccionándolo) cuándo fun(i) depende de x(j). El solver puede aproximar J mediante diferencias finitas dispersas cuando proporciona JacobPattern. Si la estructura es desconocida, no establezca JacobPattern. El comportamiento predeterminado es como si JacobPattern fuera una matriz densa de unos. Entonces, el solver calcula una aproximación completa de diferencias finitas en cada iteración. Esto puede ser costoso para problemas grandes, por lo que normalmente es mejor determinar la estructura de dispersión.
MaxPCGIter	Número máximo de iteraciones PCG (gradiente conjugado precondicionado), un escalar positivo. La opción predeterminada es max(1,numberOfVariables/2). Para obtener más información, consulte Mínimos cuadrados no lineales a gran escala.
PrecondBandWidth	Ancho de banda superior del precondicionador para PCG, un entero no negativo. La opción predeterminada de PrecondBandWidth es Inf, lo que implica que se utiliza una factorización directa (Cholesky) en lugar de los gradientes conjugados (CG). La factorización directa es más costosa computacionalmente que CG, pero produce un paso de mejor calidad hacia la solución. Establezca PrecondBandWidth en 0 para precondicionamiento diagonal (ancho de banda superior de 0). Para algunos problemas, un ancho de banda intermedio reduce el número de iteraciones PCG.
SubproblemAlgorithm	Determina cómo se calcula el paso de iteración. La opción predeterminada, 'factorization', realiza un paso más lento, pero más preciso que 'cg'. Consulte Mínimos cuadrados trust-region-reflective.
TolPCG	Tolerancia de terminación en la iteración PCG, un escalar positivo. La opción predeterminada es 0.1.
Algoritmo Levenberg-Marquardt
InitDamping	Valor inicial del parámetro de Levenberg-Marquardt, un escalar positivo. La opción predeterminada es 1e-2. Para obtener más detalles, consulte Método de Levenberg-Marquardt.
ScaleProblem	'jacobian' puede, en ocasiones, mejorar la convergencia de un problema que no esté bien escalado; la opción predeterminada es 'none'.
Algoritmo interior-point
BarrierParamUpdate	Especifica cómo fmincon actualiza el parámetro de barrera (consulte Algoritmo interior-point de fmincon). Las opciones son: 'monotone' (valor predeterminado) 'predictor-corrector' Esta opción puede afectar a la velocidad y la convergencia del solver, pero su efecto no es fácil de predecir.
ConstraintTolerance	Tolerancia en la vulneración de restricciones, un escalar positivo. La opción predeterminada es 1e-6. Consulte Tolerancias y criterios de detención. Para optimset, el nombre es TolCon. Consulte Nombres de opciones actuales y antiguos.
InitBarrierParam	Valor de barrera inicial, un escalar positivo. En ocasiones puede resultar útil probar un valor superior al valor predeterminado 0.1, sobre todo si las funciones objetivo o de restricción son grandes.
SpecifyConstraintGradient	Gradiente para las funciones de restricción no lineales definidas por el usuario. Si se establece en el valor predeterminado, false, lsqnonlin estima los gradientes de las restricciones no lineales mediante diferencias finitas. Si se establece en true, lsqnonlin prevé que la función de restricción tenga cuatro salidas, según se describe en nonlcon. Para optimset, el nombre es GradConstr y los valores son 'on' u 'off'. Consulte Nombres de opciones actuales y antiguos.
SubproblemAlgorithm	Determina cómo se calcula el paso de iteración. El valor predeterminado, 'factorization', suele ser más rápido que 'cg' (gradiente conjugado), aunque 'cg' puede ser más rápido para problemas grandes con matrices hessianas densas. Consulte Algoritmo interior-point de fmincon. Para optimset, los valores posibles son 'cg' y 'ldl-factorization'. Consulte Nombres de opciones actuales y antiguos.

Ejemplo: options = optimoptions('lsqnonlin','FiniteDifferenceType','central')

problem — Estructura de problema

estructura

Estructura de problema, especificada como una estructura con los siguientes campos:

Nombre de campo	Entrada
objective	Función objetivo
x0	Punto inicial para x
Aineq	Matriz para restricciones de desigualdad lineales
bineq	Vector para restricciones de desigualdad lineales
Aeq	Matriz para restricciones de igualdad lineales
beq	Vector para restricciones de igualdad lineales
lb	Vector de límites inferiores
ub	Vector de límites superiores
nonlcon	Función de restricción no lineal
solver	'lsqnonlin'
options	Opciones creadas con optimoptions

Debe proporcionar al menos los campos objective, x0, solver y options en la estructura problem.

Tipos de datos: struct

Argumentos de salida

x — Solución

vector real | arreglo real

Solución, devuelta como un vector real o un arreglo real. El tamaño de x es el mismo que el tamaño de x0. Habitualmente, x es una solución local al problema cuando exitflag es positivo. Para obtener información sobre la calidad de la solución, consulte Cuando el solver tiene éxito.

resnorm — Norma cuadrada del valor residual

valor real no negativo

Norma cuadrada del valor residual, devuelta como un valor real no negativo. resnorm es la norma euclídea al cuadrado del valor residual en x: sum(fun(x).^2).

residual — Valor de la función objetivo en la solución

arreglo

Valor de la función objetivo en la solución, devuelto como un arreglo. En general, residual = fun(x).

exitflag — Razón por la que el solver se ha detenido

valor entero

Razón por la que el solver se ha detenido, devuelta como un entero.

1	La función ha convergido a una solución x.
2	El cambio en x es menor que la tolerancia especificada o la matriz jacobiana en x no está definida.
3	El cambio en el valor residual es menor que la tolerancia especificada.
4	La magnitud relativa de la dirección de búsqueda es menor que la tolerancia de paso.
0	El número de iteraciones sobrepasa options.MaxIterations o el número de evaluaciones de función ha sobrepasado options.MaxFunctionEvaluations.
-1	Una función de gráfica o una función de salida ha detenido el solver.
-2	No se ha encontrado ningún punto factible. Los límites lb y ub son inconsistentes o el solver se ha detenido en un punto no factible.

output — Información sobre el proceso de optimización

estructura

Información sobre el proceso de optimización, devuelta como estructura con campos:

firstorderopt	Medida de optimalidad de primer orden
iterations	Número de iteraciones realizadas
funcCount	Número de evaluaciones de función
cgiterations	Número total de iteraciones PCG (solo algoritmos 'trust-region-reflective' y 'interior-point')
stepsize	Desplazamiento final en x
constrviolation	Máximo de funciones de restricción (algoritmo 'interior-point')
bestfeasible	Mejor punto factible (menor función objetivo) encontrado (algoritmo 'interior-point'). Una estructura con los siguientes campos: x fval firstorderopt constrviolation Si no se encuentra ningún punto factible, el campo bestfeasible está vacío. Para este fin, un punto es factible cuando el máximo de las funciones de restricción no supera options.ConstraintTolerance. El punto bestfeasible puede diferir del punto de solución devuelto x por distintos motivos. Para ver un ejemplo, consulte Obtain Best Feasible Point.
algorithm	Algoritmo de optimización utilizado
message	Mensaje de salida

lambda — Multiplicadores de Lagrange en la solución

estructura

Multiplicadores de Lagrange en la solución, devueltos como una estructura con campos:

lower	Límites inferiores que corresponden a lb
upper	Límites superiores que corresponden a ub
ineqlin	Desigualdades lineales que corresponden a A y b
eqlin	Igualdades lineales que corresponden a Aeq y beq
ineqnonlin	Desigualdades no lineales que corresponden a c en nonlcon
eqnonlin	Igualdades no lineales que corresponden a ceq en nonlcon

jacobian — Matriz jacobiana en la solución

matriz real

Matriz jacobiana en la solución, devuelta como una matriz real. jacobian(i,j) es la derivada parcial de fun(i) con respecto a x(j) en la solución x.

Para los problemas con restricciones activas en la solución, jacobian no es útil para estimar intervalos de confianza.

Limitaciones

• El algoritmo trust-region-reflective no resuelve sistemas subdeterminados; requiere que el número de ecuaciones, es decir, la dimensión de fila de F, sea al menos igual que el número de variables. En el caso subdeterminado, lsqnonlin utiliza el algoritmo Levenberg-Marquardt.

• lsqnonlin puede resolver problemas de valores complejos de forma directa. Tenga en cuenta que las restricciones no tienen sentido para valores complejos, ya que los números complejos no están bien ordenados; preguntar si un valor complejo es mayor o menor que otro valor complejo carece de sentido. Para un problema complejo con límites de restricción, divida las variables en partes reales e imaginarias. No utilice el algoritmo 'interior-point' para datos complejos. Consulte Ajustar un modelo a datos de valores complejos.

• El cálculo de precondicionador utilizado en la parte del gradiente conjugado precondicionado del método trust-region-reflective forma J^TJ (donde J es la matriz jacobiana) antes de calcular el precondicionador. Por lo tanto, una fila de J con muchos elementos distintos de cero, que resulta en un producto J^TJ casi denso, puede traducirse en un proceso de resolución costoso para problemas grandes.

• Si los componentes de x no tienen límites superiores (o inferiores), lsqnonlin prefiere que los correspondientes componentes de ub (o lb) se establezcan en inf (o -inf para límites inferiores) en lugar de un número positivo arbitrario, pero muy grande (o negativo para límites inferiores).

Puede utilizar el algoritmo trust-region reflective en lsqnonlin, lsqcurvefit y fsolve con problemas a pequeña o mediana escala sin calcular la matriz jacobiana en fun o sin proporcionar el patrón de dispersión de la matriz jacobiana. (Esto también se aplica al uso de fmincon o fminunc sin calcular la matriz Hessiana o sin proporcionar el patrón de dispersión de la matriz hessiana). ¿Cómo de pequeña es la escala pequeña o mediana? No existe ninguna respuesta absoluta, ya que depende de la cantidad de memoria virtual en la configuración que haya disponible en sistema del ordenador.

Suponga que su problema tiene m ecuaciones y n incógnitas. Si el comando J = sparse(ones(m,n)) provoca un error Out of memory en su equipo, se trata claramente de un problema demasiado grande. Si no provoca un error, es posible que el problema aún sea demasiado grande. Solo puede saberlo ejecutándolo y comprobando si MATLAB se ejecuta dentro de la cantidad de memoria virtual disponible en el sistema.

Algoritmos

Los métodos Levenberg-Marquardt y trust-region-reflective se basan en los algoritmos de mínimos cuadrados no lineales que también se utilizan en fsolve.

• Este algoritmo trust-region-reflective predeterminado es un método de región de confianza de subespacio y se basa en el método de Newton de reflejo de punto interior descrito en [1] y [2]. Cada iteración implica la solución aproximada de un sistema lineal amplio utilizando el método de gradientes conjugados precondicionados (PCG). Consulte Mínimos cuadrados trust-region-reflective.

• El método de Levenberg-Marquardt se describe en las referencias [4], [5] y [6]. Consulte Método de Levenberg-Marquardt.

El algoritmo 'interior-point' utiliza el algoritmo 'interior-point' de fmincon con algunas modificaciones. Para obtener más detalles, consulte Algoritmo fmincon modificado para mínimos cuadrados restringidos.

Funcionalidad alternativa

App

La tarea Optimize de Live Editor proporciona una interfaz visual para lsqnonlin.

Referencias

[1] Coleman, T.F. and Y. Li. “An Interior, Trust Region Approach for Nonlinear Minimization Subject to Bounds.” SIAM Journal on Optimization, Vol. 6, 1996, pp. 418–445.

[2] Coleman, T.F. and Y. Li. “On the Convergence of Reflective Newton Methods for Large-Scale Nonlinear Minimization Subject to Bounds.” Mathematical Programming, Vol. 67, Number 2, 1994, pp. 189–224.

[3] Dennis, J. E. Jr. “Nonlinear Least-Squares.” State of the Art in Numerical Analysis, ed. D. Jacobs, Academic Press, pp. 269–312.

[4] Levenberg, K. “A Method for the Solution of Certain Problems in Least-Squares.” Quarterly Applied Mathematics 2, 1944, pp. 164–168.

[5] Marquardt, D. “An Algorithm for Least-squares Estimation of Nonlinear Parameters.” SIAM Journal Applied Mathematics, Vol. 11, 1963, pp. 431–441.

[6] Moré, J. J. “The Levenberg-Marquardt Algorithm: Implementation and Theory.” Numerical Analysis, ed. G. A. Watson, Lecture Notes in Mathematics 630, Springer Verlag, 1977, pp. 105–116.

[7] Moré, J. J., B. S. Garbow, and K. E. Hillstrom. User Guide for MINPACK 1. Argonne National Laboratory, Rept. ANL–80–74, 1980.

[8] Powell, M. J. D. “A Fortran Subroutine for Solving Systems of Nonlinear Algebraic Equations.” Numerical Methods for Nonlinear Algebraic Equations, P. Rabinowitz, ed., Ch.7, 1970.

Capacidades ampliadas

Generación de código C/C++

Genere código C y C++ mediante MATLAB® Coder™.

• lsqcurvefit y lsqnonlin admiten generar código utilizando la función codegen (MATLAB Coder) o la app MATLAB Coder™. Debe disponer de una licencia de MATLAB Coder para generar código.

• El hardware de destino debe ser compatible con los cálculos estándar de punto flotante de doble precisión. No puede generar código para cálculos de precisión simple o de punto fijo.

• Los destinos de generación de código no utilizan las mismas bibliotecas del núcleo matemático que los solvers de MATLAB. Por ello, las soluciones de generación de código pueden variar con respecto a las soluciones de solver, especialmente en problemas que no están bien condicionados.

• Todo el código que se vaya a generar debe ser código de MATLAB. En particular, no puede utilizar una función de caja negra personalizada como una función objetivo para lsqcurvefit o lsqnonlin. Puede utilizar coder.ceval para evaluar una función personalizada con código C o C++. No obstante, la función personalizada debe llamarse en una función de MATLAB.

• La generación de código para lsqcurvefit y lsqnonlin actualmente no admite restricciones lineales o no lineales.

• lsqcurvefit y lsqnonlin no son compatibles con el argumento problem para generar código.

  [x,fval] = lsqnonlin(problem) % Not supported

• Debe especificar la función objetivo utilizando identificadores de función, no cadenas ni nombres de caracteres.

  x = lsqnonlin(@fun,x0,lb,ub,options) % Supported
  % Not supported: lsqnonlin('fun',...) or lsqnonlin("fun",...)

• Todas las matrices de entrada lb y ub deben ser matrices llenas, no dispersas. Puede convertir las matrices dispersas en matrices llenas mediante la función full.

• Los argumentos lb y ub deben tener el mismo número de entradas que el argumento x0 o deben estar vacíos [].

• Si su hardware de destino no admite límites infinitos, utilice optim.coder.infbound.

• Para optimizar código de manera avanzada con procesadores integrados, también necesita una licencia de Embedded Coder^®.

• Debe incluir opciones para lsqcurvefit o lsqnonlin y especificarlas utilizando optimoptions. Las opciones deben incluir la opción Algorithm, establecida en 'levenberg-marquardt'.

  options = optimoptions('lsqnonlin','Algorithm','levenberg-marquardt');
  [x,fval,exitflag] = lsqnonlin(fun,x0,lb,ub,options);

• La generación de código es compatible con estas opciones:

  • Algorithm: debe ser 'levenberg-marquardt'

  • FiniteDifferenceStepSize

  • FiniteDifferenceType

  • FunctionTolerance

  • MaxFunctionEvaluations

  • MaxIterations

  • SpecifyObjectiveGradient

  • StepTolerance

  • TypicalX

• El código generado tiene verificación de errores limitada para opciones. La forma recomendada para actualizar una opción es utilizar optimoptions, no notación de puntos.

  opts = optimoptions('lsqnonlin','Algorithm','levenberg-marquardt');
  opts = optimoptions(opts,'MaxIterations',1e4); % Recommended
  opts.MaxIterations = 1e4; % Not recommended

• No cargue opciones desde un archivo, ya que la generación de código podría fallar. En su lugar, cree opciones en el código.

• Normalmente, si especifica una opción no compatible, dicha opción se ignora silenciosamente durante la generación de código. No obstante, si especifica una función de gráfica o una función de salida utilizando notación de puntos, la generación de código puede emitir un error. Para una mayor fiabilidad, especifique únicamente opciones compatibles.

• Dado que las funciones de salida y las funciones de gráfica no son compatibles, los solvers no devuelven el indicador de salida –1.

Para ver un ejemplo, consulte Generate Code for lsqcurvefit or lsqnonlin.

Soporte paralelo automático

Acelere código mediante la ejecución automática de cálculo paralelo mediante Parallel Computing Toolbox™.

Para ejecutar en paralelo, establezca la opción 'UseParallel' en true.

options = optimoptions('solvername','UseParallel',true)

Para obtener más información, consulte Usar la computación paralela en Optimization Toolbox.

Historial de versiones

Introducido antes de R2006a

R2023a: Soporte para las restricciones lineales y no lineales

lsqnonlin obtiene soporte para las restricciones lineales y no lineales. Para permitir la satisfacción de la restricción, el solver usa el algoritmo "interior-point" de fmincon.

• Si especifica restricciones pero no especifica un algoritmo, el solver cambia automáticamente al algoritmo "interior-point".

• Si especifica restricciones y un algoritmo, debe especificar el algoritmo "interior-point".

Para obtener detalles del algoritmo, consulte Algoritmo fmincon modificado para mínimos cuadrados restringidos. Para ver un ejemplo, consulte Compare lsqnonlin and fmincon for Constrained Nonlinear Least Squares.

Consulte también

fsolve | lsqcurvefit | optimoptions | Optimize

Temas

• Mínimos cuadrados no lineales (ajuste de curvas)
• Configuración de problema de optimización basada en solvers
• Algoritmos de mínimos cuadrados (ajuste de modelos)

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